大数取余解法

大数越界

当a增大时，最后韩慧的$3^a$大小以指数级增长，可能超出int32甚至int64的取值范围，导致返回值错误。

大数求余问题：在仅使用int32类型存储的前提下，正确计算$x^a$对p求余(即$x^a$ ⊙ p)问题。

解决方案：循环求余，快速幂求余，其中后者的时间复杂度更低，两种方法均基于以下求余运算规则推出

$$(xy)\odot p=[(x\odot p)(y\odot p)]\odot p$$

1.循环求余：

• 根据求余运算性质推出（∵本题中$x<p$,∴$x\odot p=x$ ）:

$$x^a\odot p=[(x^{a-1}\odot p)(x\odot p)]\odot p=[(x^{a-1}\odot p)x]\odot p$$

• 解析：利用此公式，可通过循环操作依次求$x^1,x^2,x^3,...x^{a-1}$对p的余数，保证每轮中间值都在int32取值范围内，封装方法代码如下所示。
• 时间复杂度$O(N)$:其中N=a,即循环的线性复杂度。

// (x^a) % p —— 循环求余法
int remainder(int x,int a,int p):
{
    
    
	int rem = 1;
	for(int i=0:i < a;i++){
    
    
		rem = (rem * x) % p;
	}
	return rem;
}

2、快速幂求余：

• 根据求余运算性质可推出：
• $$x^a\odot p=(x^2{)}^{a/2}\odot p=(x^2\odot p{)}^{a/2}\odot p$$
• 当a为奇数时a/2不是整数，因此分为以下两种情况，（"//"代表向下取整的除法）：
  $$x^a\odot p=\{\begin{array}{ll}(x^2\odot {)}^{a//2}\odot p,& \text{a为偶数}\\ [(x\odot p)(x^{a-1}\odot p)]\odot p=[x(x^2\odot p{)}^{a//2}]\odot p,& \text{a为奇数}\end{array}$$
• 解析 ：利用以上公式，可通过循环操作每次吧指数a问题降至指数a//2问题，只需循环$log2(N)$次，因此可将复杂度降至对数级别。封装方法代码如下所示：

int reminder(int x,int a,int p)
{
    
    
	int rem = 1;
	while(a > 0){
    
    
		if (a % 0){
    
    
			rem = (rem * x) % p;
		}
		x = x ^ 2 % p;
		a //=2;
	}
	return rem;
}

• 帮助理解：根据下表，初始状态$rem=1,x=3,a=19,p=1000000007,$最后会将$rem\ast （x^a\odot p）$化为$rem\ast (x^a\odot p)=rem\ast 1$的形式，即$rem$为余数答案。
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