曲线曲面基本理论（二）

一、Bezier曲线的生成

生成一条 Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。下面介绍两种曲线生成的方法：

1、根据定义直接生成 Bezier 曲线

绘制Bezier曲线主要有以下步骤：

2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法

根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。

Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例 ( t ) 点处的连线，再取同等比例 ( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。

以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：

当 t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。二次Bezier曲线P 0 2可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P 1 ,P 2 )决定的一次Bezier曲线的线性组合。由(n+1)个控制点P i (i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P 0 n 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier曲线P 0 n-1 与P 1 n-1 的线性组合：

这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。这一算法可用简单的几何作图来实现。

3、Bezier曲线的拼接

几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。

采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。如下：给定两条Bezier曲线 P(t)和 Q(t)，相应控制点为 P i (i =0,1,...,n)和 Q i (i=0,1,...,m)

（1）要使它们达到 G 0 连续，则：P n = Q 0

（2）要使它们达到G 1 连续，只要保证P n-1 ，P n =Q，Q 1 三点共线就行了

Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。

4 、Bezier曲线的升阶与降阶

假设有一个二次多项式： a 0 + a 1 t + a 2 t = 0 ，能否找一个三次多项式近似逼近这个二次多项式，或精确地转成一个三次多项式？

所谓升阶就是保证曲线的形状和定向保持不变，但是要增加顶点个数。伯恩斯坦基函数不是简单的t2、t3，2 次 Bezier 基函数是Bi,2 ，3次是B i,3 ，如何从B i,2 转化成B i,3 的形式？

1、Bezier 曲线的升阶

所谓升阶是指保持Bezier曲线的形状与方向不变，增加定义它的控制顶点数，即提高该Bezier曲线的次数。设给定原始控制顶点p 0 ,p 1 ..p n ，定义一条n次Bezier曲线

三次Bezier曲线的升阶实例如下图所示：

新的多边形更加靠近曲线。在80年代初，有人证明如果一直升阶升下去的话，控制多边形收敛于这条曲线。

2、Bezier曲线的降阶

降阶是升阶的逆过程。

如果a3不等于0，想找一个二次多项式精确等于它是不可能的。如果一定要降下来，那只能近似逼近。如果把a3t3扔掉，也不是不可以，但误差太大。必须想办法找到一个二次多项式，尽量逼近这个三次多项式。

Bezier曲线曲面升降阶的重要性

第一它是CAD系统之间数据传递与交换的需要
第二它是系统中分段(片)线性逼近的需要．通过逐次降阶，把曲面化为直线平面，便于求交和曲面绘制
第三它是外形信息压缩的需要。降阶处理以后可以减少存储的信息量

二、Bezier曲面

基于Bezier曲线的讨论，可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。

1、Bezier曲面的定义

2、Bezier曲面性质

（1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，

即： P(0,0) = P 00

P (1,0) = P m0

P(0,1) = P 0n

P (1,1) = P mn

（2） Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；

（3）几何不变性

（4）对称性

（5）凸包性

3、Bezier曲面片的拼接

一条曲线可以表示成2条低一次的曲线的线性组合，曲面可以表示成低一次的 4 张曲面的线性组合。

三、B样条曲线与曲面

一、B样条产生的背景

Bezier曲线曲面有很多优点，可以用鼠标拖动控制顶点以改变曲线的形状，非常直观，给设计人员很大的自由度。Bezier曲线曲面是几何造型的主要方法和工具。

但是Bezier曲线有几点不足：

一旦确定了特征多边形的顶点数 (n+1个)，也就决定了曲线的阶次 (n次)
Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂
Bezier曲线或曲面不能作局部修改，为了纠正偏离，在移动一部分时，另外一部分也会被迫移动偏离所期望的曲线。

函数值不为0的区间通常叫做它的 [ 支撑区间 ] ，因为每个Bernstein多项式在整个区间[0，1]上都有支撑，且曲线是这些函数的混合，所以每个控制顶点对0到1之间的t值处的曲线都有影响。

为了克服了Bezier方法的弱点，在保留Bezier方法全部优点的同时，研究人员提出了样条（spline）—— 分段连续多项式！

整条曲线用一个完整的表达形式，但内在的量是一段一段的，比如一堆的3次曲线拼过去，两条之间满足2次连续这样既克服了波动现象，曲线又是低次的。既有统一的表达时，又有统一的算法。

如何进行分段呢？

现在有n+1个点，每两点之间构造一条多项式，n+1个点有 n 个小区间。每个小区间构造一条三次多项式，变成了 n 段的三次多项式拼接在一起，段与段之间要两次连续，这就是三次样条。如有5个点，构造一个多项式，应该是个四次多项式。现在采用样条方式构造四段曲线，每一段都是三次的，且段与段之间要C 2 连续。

二、B样条的递推定义和性质

Ｂ样条曲线的数学表达式为 :

B 样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数 u 的序列所决定的k 阶分段多项式，这个序列称为节点向量。

B 样条基函数实际上就是一个多项式，一个比较复杂的、有特点的多项式而已。如何得到这个B样条基函数？

de Boor-Cox递推定义（公认最 容易理解的是B样条基函数定义 ）

它的原理是，只要是 k 阶（k-1次）的 B 样条基函数，构造一种递推的公式，由0次构造1次，1次构造2次，2次构造 3次...依次类推。

该递推公式表明：若确定第 i个k阶B样条B i ,k(u)，需要用到 u i ,u i + 1 ,...,u i +k 共k+1个节点，称区间[u i ,u i +k ]为B i ,k (u)的支承区间。曲线方程中，n+1个控制顶点Pi(i=0,1,...,n)，要用到n+1 个k阶B样条B i ,k (u)。它们支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量 U = [u0,u1,..., u n+k]