1 单位脉冲响应
线性时不变系统可以用单位脉冲响应来描述，下面阐述这样说的原因。
首先，单位脉冲响应是指在初始时刻给系统输入一个单位脉冲，得到的响应。单位脉冲在数学上用狄拉克函数描述，其具有无穷小的持续时间，但面积是1。
然后，怎样的系统可以称为是线性时不变呢？线性的直观解释可以是这样的：用任意x1输入系统得到响应y1，用任意x2输入系统得到响应y2，用x1+x2输入系统得到响应y3；如果y1+y2=y3，那么这个系统就是线性的。时不变指的是系统的属性不随时间变化，即在任意不同的时间输入x1，得到的响应都是y1。
为什么线性时不变系统可以用单位脉冲响应来描述？可以直观理解为，任意输入可以被描述为不同时刻的单位脉冲的线性组合。每个组成部分都是对单位脉冲函数乘以一个幅值常数，并作相应的时间移动。现在，利用系统的线性和时不变的性质，将这些组成部分分别输入系统，每个响应除了产生时间不同，其余如波形等都相同，可以通过单位脉冲响应时移得到。总响应就是这些单位脉冲响应的叠加。这里，线性和时不变缺一不可。若系统不是线性的，总响应就不等于分量的叠加；若时变，每个分量的响应就不能通过单位脉冲响应时移得到。
2 傅里叶变换
通过单位脉冲响应函数求系统响应时，要将各个时刻的脉冲响应叠加，这个过程可以写成卷积。
对于欠阻尼振动系统，当输入是【e^iwt】时，输出是输入的常数倍。也可以认为【e^iwt】是这个卷积算子的特征向量，乘以的常数就是这个卷积算子的特征值。也就是说，当输入是【e^iwt】时，不需要通过卷积运算就可以得到响应值：对输入乘以一个常数。
可以发现，这个性质类似于线性代数中的特征向量和特征值。接下来，自然会想到将输入分解为【e^iwt】的线性叠加。这样，求系统响应时只要对每个【e^iwt】乘一个常数，再重新合成就可以得到总响应了。这个分解的过程就是傅里叶变换，将信号在【e^iwt】组成的基上投影。乘以一个常数的过程就是滤波，这个描述这些常数的函数就是复频响应函数。最后的合成就是傅里叶逆变换。
如果系统不是欠阻尼系统，而是过阻尼系统，或者单位脉冲响应函数存在非简谐的指数分量，为了使分解有物理意义，这时就要使用拉普拉斯变换。所以，傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况，即极点是共轭复数的情况。