引自 Analysis of hashrate-based double-spending,Meni Rosenfeld
1.问题描述
假设：
1.诚实节点和攻击节点的算力总和为常数，p为诚实节点记录下一区块的概率，q为攻击节点记录下一区块的概率。
2.生成区块的难度（需要用的工作量）是常数，产生一个区块的平均时间是T0。
3.诚实链的长度为n，攻击节点生成的虚假链的长度为m，两者的差z = n-m.
求解：
攻击节点生成的虚假链长度超过诚实链长度的概率。
2.定性分析
上述问题描述了双花（双重支付）的过程，可看成是一个连续时间马尔可夫过程，当 z = -1时攻击者攻击成功。由于我们只关心攻击者成功的概率，并不关心何时攻击成功，因此上述问题等价为一个离散马尔可夫链。
设为当攻击者生成的虚假链落后诚实链z个区块时，攻击成功的概率。则有如下关系成立：
可推导出：
即：
当q>p时，攻击者的虚假链无论落后诚实链多少个区块，均可攻击成功，最终生成比诚实链长的链。
当q<p时，攻击者成功的概率随着落后的区块个数而呈现指数型衰减。
攻击者成功的概率与落后区块个数有关，跟生成区块的时间长短无关。
基于这个结论，交易信息的真实性，往往需要等待若干个区块确认被写入最长链后才得到保障。
3.定量分析
下面定量分析。依旧是上述假设：
1.诚实节点和攻击节点的算力总和为常数，p为诚实节点记录下一区块的概率，q为攻击节点记录下一区块的概率。
2.生成区块的难度（需要用的工作量）是常数，产生一个区块的平均时间是T0。
3.诚实链的长度为n，攻击节点生成的虚假链的长度为m，两者的差z = n-m.
新产生的区块由攻击者产生的概率为q,由诚实节点产生的概率为p。每次产生的区块或者由攻击者生成，或者由诚实节点生成。m个区块由攻击者产生，n个区块由诚实节点产生。这个过程描述了一个N重伯努利试验。
在总共m+n次试验中，攻击者成功产生新区块个数m是一个随机变量，服从负二项分布，其概率密度函数为：
其中
现在假设攻击者已经新计算出一个区块，即攻击者产生了m+1个区块，则在此情况下攻击者成功进行双花的累积分布函数r为：
观察在确认区块数量为n，攻击者占全网算力比重为q的情况下，双花成功的概率r的曲线。取n=2,4,6,8,10,用Matlab做图如下：
当攻击者占全网算力小于50%时，更多的区块确认数量可以显著降低攻击者双花成功的概率；当攻击者占全网算力超过50%时，必然导致双花成功，这种现象被称为“51%算力攻击”。在此先讨论q<50%的情况，“51%算力攻击”将在之后讨论。
由图可以看出：当攻击者算力占全网10%时，2个区块确认可以保证攻击者双花成功的概率小于10%，4个区块确认可以保证攻击者双花成功的概率小于1%，6个区块确认可以保证攻击者双花成功概率小于0.1%。随着确认数的增加，攻击者双花成功的概率呈指数下降。
通常的比特币区块链中，除了巨额交易之外，一般交易经过6个区块的确认即可保证安全。这需要结合攻击者完成双花所需要的经济成本来说明，下表展示了计算了双花的经济成本后，在攻击者拥有占全网q算力下，进行n次区块确认可以安全交易的最大数量的价值（单位：BTC，比特币）。（引自 Analysis of hashrate-based double-spending,Meni Rosenfeld）。等待更多的区块确认将显著增加攻击者的双花成本。（犯罪成本远远高于收益，在拥有一定理性的情况下不去犯罪）
