Coursera吴恩达《序列模型》课程笔记（1）-- 循环神经网络（RNN）

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《Recurrent Neural Networks》是Andrw Ng深度学习专项课程中的第五门课，也是最后一门课。这门课主要介绍循环神经网络（RNN）的基本概念、模型和具体应用。该门课共有3周课时，所以我将分成3次笔记来总结，这是第一节笔记。

1. Why sequence models

序列模型能够应用在许多领域，例如：

语音识别
音乐发生器
情感分类
DNA序列分析
机器翻译
视频动作识别
命名实体识别

这里写图片描述

这些序列模型基本都属于监督式学习，输入x和输出y不一定都是序列模型。如果都是序列模型的话，模型长度不一定完全一致。

2. Notation

下面以命名实体识别为例，介绍序列模型的命名规则。示例语句为：

Harry Potter and Hermione Granger invented a new spell.

该句话包含9个单词，输出y即为1 x 9向量，每位表征对应单词是否为人名的一部分，1表示是，0表示否。很明显，该句话中“Harry”，“Potter”，“Hermione”，“Granger”均是人名成分，所以，对应的输出y可表示为：

y = [1 1 0 1 1 0 0 0 0]

$y=[1\ \ 1\ \ 0\ \ 1\ \ 1\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0]$

一般约定使用 $y^{<t>}$ 表示序列对应位置的输出，使用 $T_y$ 表示输出序列长度，则 $1\leq t\leq T_y$ 。

对于输入x，表示为：

[x^{< 1 >} x^{< 2 >} x^{< 3 >} x^{< 4 >} x^{< 5 >} x^{< 6 >} x^{< 7 >} x^{< 8 >} x^{< 9 >}]

$[x^{<1>}\ \ x^{<2>}\ \ x^{<3>}\ \ x^{<4>}\ \ x^{<5>}\ \ x^{<6>}\ \ x^{<7>}\ \ x^{<8>}\ \ x^{<9>}]$

同样， $x^{<t>}$ 表示序列对应位置的输入， $T_x$ 表示输入序列长度。注意，此例中， $T_x=T_y$ ，但是也存在 $T_x\neq T_y$ 的情况。

如何来表示每个 $x^{<t>}$ 呢？方法是首先建立一个词汇库vocabulary，尽可能包含更多的词汇。例如一个包含10000个词汇的词汇库为：

[\begin{matrix} a \\ a n d \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ h a r r y \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ p o t t e r \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ z u l u \end{matrix}]

$\left[ \begin{matrix} a \\ and \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ harry \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ potter \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ zulu \end{matrix} \right]$

该词汇库可看成是10000 x 1的向量。值得注意的是自然语言处理NLP实际应用中的词汇库可达百万级别的词汇量。

然后，使用one-hot编码，例句中的每个单词 $x^{<t>}$ 都可以表示成10000 x 1的向量，词汇表中与 $x^{<t>}$ 对应的位置为1，其它位置为0。该 $x^{<t>}$ 为one-hot向量。值得一提的是如果出现词汇表之外的单词，可以使用UNK或其他字符串来表示。

对于多样本，以上序列模型对应的命名规则可表示为： $X^{(i)<t>}$ ， $y^{(i)<t>}$ ， $T_x^{(i)}$ ， $T_y^{(i)}$ 。其中， $i$ 表示第i个样本。不同样本的 $T_x^{(i)}$ 或 $T_y^{(i)}$ 都有可能不同。

3. Recurrent Neural Network Model

对于序列模型，如果使用标准的神经网络，其模型结构如下：

这里写图片描述

使用标准的神经网络模型存在两个问题：

第一个问题，不同样本的输入序列长度或输出序列长度不同，即 $T_x^{(i)}\neq T_x^{(j)}$ ， $T_y^{(i)}\neq T_y^{(j)}$ ，造成模型难以统一。解决办法之一是设定一个最大序列长度，对每个输入和输出序列补零并统一到最大长度。但是这种做法实际效果并不理想。

第二个问题，也是主要问题，这种标准神经网络结构无法共享序列不同 $x^{<t>}$ 之间的特征。例如，如果某个 $x^{<t>}$ 即“Harry”是人名成分，那么句子其它位置出现了“Harry”，也很可能也是人名。这是共享特征的结果，如同CNN网络特点一样。但是，上图所示的网络不具备共享特征的能力。值得一提的是，共享特征还有助于减少神经网络中的参数数量，一定程度上减小了模型的计算复杂度。例如上图所示的标准神经网络，假设每个 $x^{<t>}$ 扩展到最大序列长度为100，且词汇表长度为10000，则输入层就已经包含了100 x 10000个神经元了，权重参数很多，运算量将是庞大的。

标准的神经网络不适合解决序列模型问题，而循环神经网络（RNN）是专门用来解决序列模型问题的。RNN模型结构如下：

这里写图片描述

序列模型从左到右，依次传递，此例中， $T_x=T_y$ 。 $x^{<t>}$ 到 $\hat y^{<t>}$ 之间是隐藏神经元。 $a^{<t>}$ 会传入到第 $t+1$ 个元素中，作为输入。其中， $a^{<0>}$ 一般为零向量。

RNN模型包含三类权重系数，分别是 $W_{ax}$ ， $W_{aa}$ ， $W_{ya}$ 。且不同元素之间同一位置共享同一权重系数。

这里写图片描述

RNN的正向传播（Forward Propagation）过程为：

a^{< t >} = g (W_{a a} \cdot a^{< t - 1 >} + W_{a x} \cdot x^{< t >} + b a)

$a^{<t>}=g(W_{aa}\cdot a^{<t-1>}+W_{ax}\cdot x^{<t>}+ba)$

{\hat{y}}^{< t >} = g (W_{y a} \cdot a^{< t >} + b_{y})

$\hat y^{<t>}=g(W_{ya}\cdot a^{<t>}+b_y)$

其中， $g(\cdot)$ 表示激活函数，不同的问题需要使用不同的激活函数。

为了简化表达式，可以对 $a^{<t>}$ 项进行整合：

W_{a a} \cdot a^{< t - 1 >} + W_{a x} \cdot x^{< t >} = [W_{a a} W_{a x}] [\begin{matrix} a^{< t - 1 >} \\ x^{< t >} \end{matrix}] \to W_{a} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}]

$W_{aa}\cdot a^{<t-1>}+W_{ax}\cdot x^{<t>}=[W_{aa}\ \ W_{ax}]\left[ \begin{matrix} a^{<t-1>} \\ x^{<t>} \end{matrix} \right]\rightarrow W_a[a^{<t-1>},x^{<t>}]$

则正向传播可表示为：

a^{< t >} = g (W_{a} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{a})

$a^{<t>}=g(W_a[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_a)$

{\hat{y}}^{< t >} = g (W_{y} \cdot a^{< t >} + b_{y})

$\hat y^{<t>}=g(W_{y}\cdot a^{<t>}+b_y)$

值得一提的是，以上所述的RNN为单向RNN，即按照从左到右顺序，单向进行， $\hat y^{<t>}$ 只与左边的元素有关。但是，有时候 $\hat y^{<t>}$ 也可能与右边元素有关。例如下面两个句子中，单凭前三个单词，无法确定“Teddy”是否为人名，必须根据右边单词进行判断。

He said, “Teddy Roosevelt was a great President.”

He said, “Teddy bears are on sale!”

因此，有另外一种RNN结构是双向RNN，简称为BRNN。 $\hat y^{<t>}$ 与左右元素均有关系，我们之后再详细介绍。

4. Backpropagation through time

针对上面识别人名的例子，经过RNN正向传播，单个元素的Loss function为：

L^{< t >} ({\hat{y}}^{< t >}, y^{< t >}) = - y^{< t >} l o g {\hat{y}}^{< t >} - (1 - y^{< t >}) l o g (1 - {\hat{y}}^{< t >})

$L^{<t>}(\hat y^{<t>},y^{<t>})=-y^{<t>}log\ \hat y^{<t>}-(1-y^{<t>})log\ (1-\hat y^{<t>})$

该样本所有元素的Loss function为：

L (\hat{y}, y) = \sum_{t = 1}^{T_{y}} L^{< t >} ({\hat{y}}^{< t >}, y^{< t >})

$L(\hat y,y)=\sum_{t=1}^{T_y}L^{<t>}(\hat y^{<t>},y^{<t>})$

然后，反向传播（Backpropagation）过程就是从右到左分别计算 $L(\hat y,y)$ 对参数 $W_{a}$ ， $W_{y}$ ， $b_a$ ， $b_y$ 的偏导数。思路与做法与标准的神经网络是一样的。一般可以通过成熟的深度学习框架自动求导，例如PyTorch、Tensorflow等。这种从右到左的求导过程被称为Backpropagation through time。

5. Different types of RNNs

以上介绍的例子中， $T_x=T_y$ 。但是在很多RNN模型中， $T_x$ 是不等于 $T_y$ 的。例如第1节介绍的许多模型都是 $T_x\neq T_y$ 。根据 $T_x$ 与 $T_y$ 的关系，RNN模型包含以下几个类型：

Many to many: $T_x=T_y$
Many to many: $T_x\neq T_y$
Many to one: $T_x>1,T_y=1$
One to many: $T_x=1,T_y>1$
One to one: $T_x=1,T_y=1$

不同类型相应的示例结构如下：

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6. Language model and sequence generation

语言模型是自然语言处理（NLP）中最基本和最重要的任务之一。使用RNN能够很好地建立需要的不同语言风格的语言模型。

什么是语言模型呢？举个例子，在语音识别中，某句语音有两种翻译：

The apple and pair salad.
The apple and pear salad.

很明显，第二句话更有可能是正确的翻译。语言模型实际上会计算出这两句话各自的出现概率。比如第一句话概率为 $10^{-13}$ ，第二句话概率为 $10^{-10}$ 。也就是说，利用语言模型得到各自语句的概率，选择概率最大的语句作为正确的翻译。概率计算的表达式为：

P (y^{< 1 >}, y^{< 2 >}, \dots, y^{< T_{y} >})

$P(y^{<1>},y^{<2>},\cdots,y^{<T_y>})$

如何使用RNN构建语言模型？首先，我们需要一个足够大的训练集，训练集由大量的单词语句语料库（corpus）构成。然后，对corpus的每句话进行切分词（tokenize）。做法就跟第2节介绍的一样，建立vocabulary，对每个单词进行one-hot编码。例如下面这句话：

The Egyptian Mau is a bread of cat.

One-hot编码已经介绍过了，不再赘述。还需注意的是，每句话结束末尾，需要加上< EOS >作为语句结束符。另外，若语句中有词汇表中没有的单词，用< UNK >表示。假设单词“Mau”不在词汇表中，则上面这句话可表示为：

The Egyptian < UNK > is a bread of cat. < EOS >

准备好训练集并对语料库进行切分词等处理之后，接下来构建相应的RNN模型。

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语言模型的RNN结构如上图所示， $x^{<1>}$ 和 $a^{<0>}$ 均为零向量。Softmax输出层 $\hat y^{<1>}$ 表示出现该语句第一个单词的概率，softmax输出层 $\hat y^{<2>}$ 表示在第一个单词基础上出现第二个单词的概率，即条件概率，以此类推，最后是出现< EOS >的条件概率。

单个元素的softmax loss function为：

L^{< t >} ({\hat{y}}^{< t >}, y^{< t >}) = - \sum_{i} y_{i}^{< t >} l o g {\hat{y}}_{i}^{< t >}

$L^{<t>}(\hat y^{<t>},y^{<t>})=-\sum_iy_i^{<t>}log\ \hat y_i^{<t>}$

该样本所有元素的Loss function为：

L (\hat{y}, y) = \sum_{t} L^{< t >} ({\hat{y}}^{< t >}, y^{< t >})

$L(\hat y,y)=\sum_tL^{<t>}(\hat y^{<t>},y^{<t>})$

对语料库的每条语句进行RNN模型训练，最终得到的模型可以根据给出语句的前几个单词预测其余部分，将语句补充完整。例如给出“Cats average 15”，RNN模型可能预测完整的语句是“Cats average 15 hours of sleep a day.”。

最后补充一点，整个语句出现的概率等于语句中所有元素出现的条件概率乘积。例如某个语句包含 $y^{<1>},y^{<2>},y^{<3>}$ ，则整个语句出现的概率为：

P (y^{< 1 >}, y^{< 2 >}, y^{< 3 >}) = P (y^{< 1 >}) \cdot P (y^{< 2 >} | y^{< 1 >}) \cdot P (y^{< 3 >} | y^{< 1 >}, y^{< 2 >})

$P(y^{<1>},y^{<2>},y^{<3>})=P(y^{<1>})\cdot P(y^{<2>}|y^{<1>})\cdot P(y^{<3>}|y^{<1>},y^{<2>})$

7 Sampling novel sequences

利用训练好的RNN语言模型，可以进行新的序列采样，从而随机产生新的语句。与上一节介绍的一样，相应的RNN模型如下所示：

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首先，从第一个元素输出 $\hat y^{<1>}$ 的softmax分布中随机选取一个word作为新语句的首单词。然后， $y^{<1>}$ 作为 $x^{<2>}$ ，得到 $\hat y^{<1>}$ 的softmax分布。从中选取概率最大的word作为 $y^{<2>}$ ，继续将 $y^{<2>}$ 作为 $x^{<3>}$ ，以此类推。直到产生< EOS >结束符，则标志语句生成完毕。当然，也可以设定语句长度上限，达到长度上限即停止生成新的单词。最终，根据随机选择的首单词，RNN模型会生成一条新的语句。

值得一提的是，如果不希望新的语句中包含< UNK >标志符，可以在每次产生< UNK >时重新采样，直到生成非< UNK >标志符为止。

以上介绍的是word level RNN，即每次生成单个word，语句由多个words构成。另外一种情况是character level RNN，即词汇表由单个英文字母或字符组成，如下所示：

V o c a b u l a y = [a, b, c, \dots, z, .,;,, 0, 1, \dots, 9, A, B, \dots, Z]

$Vocabulay=[a,b,c,\cdots,z,.,;,\ ,0,1,\cdots,9,A,B,\cdots,Z]$

Character level RNN与word level RNN不同的是， $\hat y^{<t>}$ 由单个字符组成而不是word。训练集中的每句话都当成是由许多字符组成的。character level RNN的优点是能有效避免遇到词汇表中不存在的单词< UNK >。但是，character level RNN的缺点也很突出。由于是字符表征，每句话的字符数量很大，这种大的跨度不利于寻找语句前部分和后部分之间的依赖性。另外，character level RNN的在训练时的计算量也是庞大的。基于这些缺点，目前character level RNN的应用并不广泛，但是在特定应用下仍然有发展的趋势。

8. Vanisging gradients with RNNs

语句中可能存在跨度很大的依赖关系，即某个word可能与它距离较远的某个word具有强依赖关系。例如下面这两条语句：

The cat, which already ate fish, was full.

The cats, which already ate fish, were full.

第一句话中，was受cat影响；第二句话中，were受cats影响。它们之间都跨越了很多单词。而一般的RNN模型每个元素受其周围附近的影响较大，难以建立跨度较大的依赖性。上面两句话的这种依赖关系，由于跨度很大，普通的RNN网络容易出现梯度消失，捕捉不到它们之间的依赖，造成语法错误。关于梯度消失的原理，我们在之前的 Coursera吴恩达《优化深度神经网络》课程笔记（1）– 深度学习的实用层面已经有过介绍，可参考。

另一方面，RNN也可能出现梯度爆炸的问题，即gradient过大。常用的解决办法是设定一个阈值，一旦梯度最大值达到这个阈值，就对整个梯度向量进行尺度缩小。这种做法被称为gradient clipping。

9. Gated Recurrent Unit(GRU)

RNN的隐藏层单元结构如下图所示：

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$a^{<t>}$ 的表达式为：

a^{< t >} = t a n h (W_{a} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{a})

$a^{<t>}=tanh(W_a[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_a)$

为了解决梯度消失问题，对上述单元进行修改，添加了记忆单元，构建GRU，如下图所示：

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相应的表达式为：

{\tilde{c}}^{< t >} = t a n h (W_{c} [c^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{c})

$\tilde c^{<t>}=tanh(W_c[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_c)$

Γ_{u} = σ (W_{u} [c^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{u})

$\Gamma_u=\sigma(W_u[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_u)$

c^{< t >} = Γ * {\tilde{c}}^{< t >} + (1 - Γ_{u}) * c^{< t - 1 >}

$c^{<t>}=\Gamma*\tilde c^{<t>}+(1-\Gamma_u)*c^{<t-1>}$

其中， $c^{<t-1>}=a^{<t-1>}$ ， $c^{<t>}=a^{<t>}$ 。 $\Gamma_u$ 意为gate，记忆单元。当 $\Gamma_u=1$ 时，代表更新；当 $\Gamma_u=0$ 时，代表记忆，保留之前的模块输出。这一点跟CNN中的ResNets的作用有点类似。因此， $\Gamma_u$ 能够保证RNN模型中跨度很大的依赖关系不受影响，消除梯度消失问题。

上面介绍的是简化的GRU模型，完整的GRU添加了另外一个gate，即 $\Gamma_r$ ，表达式如下：

{\tilde{c}}^{< t >} = t a n h (W_{c} [Γ_{r} * c^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{c})

$\tilde c^{<t>}=tanh(W_c[\Gamma_r*c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_c)$

Γ_{u} = σ (W_{u} [c^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{u})

$\Gamma_u=\sigma(W_u[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_u)$

Γ_{r} = σ (W_{r} [c^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{r})

$\Gamma_r=\sigma(W_r[c^{<t-1>},x^{<t>}]+b_r)$

c^{< t >} = Γ * {\tilde{c}}^{< t >} + (1 - Γ_{u}) * c^{< t - 1 >}

$c^{<t>}=\Gamma*\tilde c^{<t>}+(1-\Gamma_u)*c^{<t-1>}$

a^{< t >} = c^{< t >}

$a^{<t>}=c^{<t>}$

注意，以上表达式中的 $*$ 表示元素相乘，而非矩阵相乘。

10. Long Short Term Memory(LSTM)

LSTM是另一种更强大的解决梯度消失问题的方法。它对应的RNN隐藏层单元结构如下图所示：

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相应的表达式为：

{\tilde{c}}^{< t >} = t a n h (W_{c} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{c})

$\tilde c^{<t>}=tanh(W_c[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_c)$

Γ_{u} = σ (W_{u} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{u})

$\Gamma_u=\sigma(W_u[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_u)$

Γ_{f} = σ (W_{f} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{f})

$\Gamma_f=\sigma(W_f[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_f)$

Γ_{o} = σ (W_{o} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{o})

$\Gamma_o=\sigma(W_o[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_o)$

c^{< t >} = Γ_{u} * {\tilde{c}}^{< t >} + Γ_{f} * c^{< t - 1 >}

$c^{<t>}=\Gamma_u*\tilde c^{<t>}+\Gamma_f*c^{<t-1>}$

a^{< t >} = Γ_{o} * c^{< t >}

$a^{<t>}=\Gamma_o*c^{<t>}$

LSTM包含三个gates： $\Gamma_u$ ， $\Gamma_f$ ， $\Gamma_o$ ，分别对应update gate，forget gate和output gate。

如果考虑 $c^{<t-1>}$ 对 $\Gamma_u$ ， $\Gamma_f$ ， $\Gamma_o$ 的影响，可加入peephole connection，对LSTM的表达式进行修改：

{\tilde{c}}^{< t >} = t a n h (W_{c} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}] + b_{c})

$\tilde c^{<t>}=tanh(W_c[a^{<t-1>},x^{<t>}]+b_c)$

Γ_{u} = σ (W_{u} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}, c^{< t - 1 >}] + b_{u})

$\Gamma_u=\sigma(W_u[a^{<t-1>},x^{<t>},c^{<t-1>}]+b_u)$

Γ_{f} = σ (W_{f} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}, c^{< t - 1 >}] + b_{f})

$\Gamma_f=\sigma(W_f[a^{<t-1>},x^{<t>},c^{<t-1>}]+b_f)$

Γ_{o} = σ (W_{o} [a^{< t - 1 >}, x^{< t >}, c^{< t - 1 >}] + b_{o})

$\Gamma_o=\sigma(W_o[a^{<t-1>},x^{<t>},c^{<t-1>}]+b_o)$

c^{< t >} = Γ_{u} * {\tilde{c}}^{< t >} + Γ_{f} * c^{< t - 1 >}

$c^{<t>}=\Gamma_u*\tilde c^{<t>}+\Gamma_f*c^{<t-1>}$

a^{< t >} = Γ_{o} * c^{< t >}

$a^{<t>}=\Gamma_o*c^{<t>}$

GRU可以看成是简化的LSTM，两种方法都具有各自的优势。

11. Bidirectional RNN

我们在第3节中简单提过Bidirectional RNN，它的结构如下图所示：

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BRNN对应的输出 $y^{<t>}$ 表达式为：

{\hat{y}}^{< t >} = g (W_{y} [a^{\to< t >}, a^{\leftarrow< t >}] + b_{y})

$\hat y^{<t>}=g(W_{y}[a^{\rightarrow <t>},a^{\leftarrow <t>}]+b_y)$

BRNN能够同时对序列进行双向处理，性能大大提高。但是计算量较大，且在处理实时语音时，需要等到完整的一句话结束时才能进行分析。

12. Deep RNNs

Deep RNNs由多层RNN组成，其结构如下图所示：

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与DNN一样，用上标 $[l]$ 表示层数。Deep RNNs中 $a^{[l]<t>}$ 的表达式为：

a^{[l] < t >} = g (W_{a}^{[l]} [a^{[l] < t - 1 >}, a^{[l - 1] < t >}] + b_{a}^{[l]})

$a^{[l]<t>}=g(W_a^{[l]}[a^{[l]<t-1>},a^{[l-1]<t>}]+b_a^{[l]})$

我们知道DNN层数可达100多，而Deep RNNs一般没有那么多层，3层RNNs已经较复杂了。

另外一种Deep RNNs结构是每个输出层上还有一些垂直单元，如下图所示：

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至此，第一节笔记介绍完毕！

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