704. 二分查找
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
提示：
- 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
- n 将在 [1, 10000]之间。
- nums 的每个元素都将在 [-9999,9999]之间。
思路分析
这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件。
二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但是会经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。
写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。
思路：确定中间值mid，再用mid和目标值target进行比较：
- 若
nums[mid] > target，则right = mid - 1（右闭）/ mid（右开） - 若
nums[mid] < target，则left = mid + 1（左闭）/ mid（左闭） - 若
nums[mid] = target，则return mid
代码详解
左闭右闭（ [left, right] ）
- while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
- if (nums[middle] > target) right 要赋值为
middle -1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的区间结束下标位置就是 middle - 1
/**
* @param {number[]} nums
* @param {number} target
* @return {number}
*/
var search = function(nums, target) {
// right是数组最后一个数的下标，num[right]在查找范围内，是左闭右闭区间
let mid, left = 0, right = nums.length - 1;
// 当left=right时，由于nums[right]在查找范围内，所以要包括此情况
while (left <= right) {
// 位运算 + 防止大数溢出
mid = left + ((right - left) >> 1);
// 如果中间数大于目标值，要把中间数排除查找范围，所以右边界更新为mid-1；如果右边界更新为mid，那中间数还在下次查找范围内
if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1; // 去左面闭区间寻找
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1; // 去右面闭区间寻找
} else {
return mid;
}
}
return -1;
};
左闭右开（ [left, right) ）
- while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
- if (nums[middle] > target) right 更新为
middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]
/**
* @param {number[]} nums
* @param {number} target
* @return {number}
*/
var search = function(nums, target) {
// right是数组最后一个数的下标+1，nums[right]不在查找范围内，是左闭右开区间
let mid, left = 0, right = nums.length;
// 当left=right时，由于nums[right]不在查找范围，所以不必包括此情况
while (left < right) {
// 位运算 + 防止大数溢出
mid = left + ((right - left) >> 1);
// 如果中间值大于目标值，中间值不应在下次查找的范围内，但中间值的前一个值应在；
// 由于right本来就不在查找范围内，所以将右边界更新为中间值，如果更新右边界为mid-1则将中间值的前一个值也踢出了下次寻找范围
if (nums[mid] > target) {
right = mid; // 去左区间寻找
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1; // 去右区间寻找
} else {
return mid;
}
}
return -1;
};
复杂度分析
时间复杂度：O(logn)，其中 n 是数组的长度。
空间复杂度：O(1)。
相关例题
35.搜索插入位置
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。
示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2
示例 2:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1
示例 3:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4
提示:
1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
-104 <= target <= 104
问题：二分查找过程不明确，未将 mid，left，right 分析循环到while条件即（left <= right），导致没有找到关键步骤 left < right时与 target[ ] 的大小关系即应返回 left 值。
思路：推理过程完善
代码如下（ 皆为左闭右闭[left, right] ）：
/**
* @param {number[]} nums
* @param {number} target
* @return {number}
*/
var searchInsert = function (nums, target) {
let mid, left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
mid = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
}else{
return mid;
}
}
return left;
};
34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
示例 3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
提示：
0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109 <= target <= 109
思路：
官方：寻找数组中第一个等于target的位（leftIdx）和第一个大于target的位置-1（rightIdx）；
const binarySearch = (nums, target, lower) => {
let left = 0, right = nums.length - 1, ans = nums.length;
while (left <= right) {
const mid = Math.floor((left + right) / 2);
if (nums[mid] > target || (lower && nums[mid] >= target)) {
right = mid - 1;
ans = mid;
} else {
left = mid + 1;
}
}
return ans;
}
var searchRange = function(nums, target) {
let ans = [-1, -1];
const leftIdx = binarySearch(nums, target, true);
const rightIdx = binarySearch(nums, target, false) - 1;
if (leftIdx <= rightIdx && rightIdx < nums.length && nums[leftIdx] === target && nums[rightIdx] === target) {
ans = [leftIdx, rightIdx];
}
return ans;
};
我：二分查找至nums[mid]==target时，循环遍历此时 lef t和 right 范围内所有数，若 nums[i]==target ，则count++，将nums[i]添加至arr中；
遍历结束若count==1，则只有一个数满足，即第一次和最后一次相等都为mid值，再push一次mid值，若count!=1，说明不止一个数满足，将arr第一个数和最后一个数组成新数组，返回该结果。
/**
* @param {number[]} nums
* @param {number} target
* @return {number[]}
*/
var searchRange = function (nums, target) {
let mid, left = 0, right = nums.length - 1;
let index,count=0,arr = [],result=[];
if (nums == null) {
return [-1, -1];
} else {
while (left <= right) {
mid = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
}
else {
for (let i = left; i <= right; i++) {
if (nums[i] == target) {
count++;
arr.push(i)
}
}
if (count == 1 ) {
arr.push(mid)
result=arr;
}else{
index=arr.length-1;
result.push(arr[0],arr[index]);
}
return result;
}
}
return [-1, -1];
}
};
69.x 的平方根
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
示例 1：
输入：x = 4
输出：2
示例 2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
提示：
0 <= x <= 2^31 - 1
思路：x平方的整数部分时满足k^2<=x的最大k值，即对k进行二分查找。
比较mid^2与x的关系，跳出条件时 return right
/**
* @param {number} x
* @return {number}
*/
var mySqrt = function(x) {
let mid, left = 0, right = x;
while (left <= right) {
mid = left + ((right - left) >> 1);
if (mid * mid < x) {
left = mid + 1;
}else if (mid * mid > x) {
right = mid - 1;
}else{
return mid;
}
}
return right;
};
367. 有效的完全平方数
给定一个 正整数 num ，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。
进阶：不要使用任何内置的库函数，如 sqrt 。
示例 1：
输入：num = 16
输出：true
示例 2：
输入：num = 14
输出：false
提示：
1 <= num <= 2^31 - 1
思路：同69，left初始值有变化=1
/**
* @param {number} num
* @return {boolean}
*/
var isPerfectSquare = function(num) {
let mid, left = 1,right = num;
while (left <= right) {
mid = left + ((right - left) >> 1);
if (mid * mid < num) {
left = mid + 1;
}else if (mid * mid > num) {
right = mid -1
}else{
return true;
}
}
return false;
};
总结
- 二分查找关键就是对区间的定义理解清楚，在循环中始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。
- 区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。