最小生成树之Kruskal算法

上图来自《数据结构与算法（C语言版）》，以此图为基础，展开对Kruskal算法的理解和实现。

算法思想

采用贪婪策略，连续的按最小的权选择边，并且当边不产生圈（环）时就把它作为取定的边

算法思路

根据算法思想，自然而然会出现下面两个问题：

• 怎样选择最小权的边？
  可以使用一个排序算法解决

• 怎样判断加入的边是否会产生圈？
  （用到不相交集的知识，可参考我的上篇博客）
  判断边的两个端点是否在同一棵树中，若处于同一棵树则会产生圈

所以，这个算法的一个大概思路就为：

　1.将边的权值将边按升序排序

  2.每次选择最小的边，判断两个端点是否是等价类（在同一颗树中），不是则加入这条边并且合并这两个端点

　3.如此重复1-2步骤到所有边都被处理

算法实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>

using namespace std;

#define VERSIZE  9 //顶点数
#define MAXSIZE 15//边数

typedef struct node EDGE;
typedef int Vertex;
typedef int Position;

struct node
{
    Vertex start;//边起始顶点
    Vertex end;//边结束顶点
    int weigth;//权重
}Edge[MAXSIZE];

int VerSet[VERSIZE];//存储顶点的集合

//初始化集合
void InitSet(int VerSet[],int n)
{
    int i = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        VerSet[i] = -1;
}

//读图并初始化
void ReadGraph(EDGE Edge[], int m)//边数m
{
    int i = 0;
    for (i = 0; i < m; i++)
    {
        cout << "请输入第" << i+1 << "条边:";
        cin >> Edge[i].start;
        cin >> Edge[i].end;
        cout << "请输入边" << "(" << Edge[i].start << "," << Edge[i].end << ")" << "的权重:";
        cin >> Edge[i].weigth;
    }
}

//找出顶点在哪颗树
Position Find(int VerSet[], Vertex x)
{
    if (VerSet[x] < 0)
        return x;
    else
        return VerSet[x] = Find(VerSet, VerSet[x]);
}

//合并两个顶点与一棵树
void Union(int VerSet[], Vertex x, Vertex y)
{
    Vertex root1 = Find(VerSet,x);
    Vertex root2 = Find(VerSet,y);

    if (VerSet[root1] > VerSet[root2])
        VerSet[root1] = root2;
    else
    {
        if (VerSet[root1] == VerSet[root2])
            VerSet[root1]--;
        VerSet[root2] = root1;
    }
}

int kruskal(EDGE Edge[],int VerSet[],int m)
{
    int sum = 0;
    int i = 0;
    for (i = 0; i < m; i++)
    {
        if (Find(VerSet, Edge[i].start) != Find(VerSet, Edge[i].end))//判断两个端点是否在同一棵树中
        {
            Union(VerSet, Edge[i].start, Edge[i].end);//合并两个顶点
            sum += Edge[i].weigth;
            cout << "边" << Edge[i].start << "," << Edge[i].end << endl;//输出选择的边
        }
    }
    return sum;
}

bool compare(EDGE a,EDGE b)
{
    return a.weigth < b.weigth;
}

int main(int argc , char * argv[])
{
    int n = 7;
    int m = 12;
    InitSet(VerSet, n);
    ReadGraph(Edge, m);
    sort(Edge, Edge + n , compare);
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        cout << Edge[i].weigth << " ";
    }
    cout << endl;
    cout << "最小生成树为:" << kruskal(Edge, VerSet, m) << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

---

结果截图