两排序好的数组，找中位数
描述
There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted
arrays. The overall run time complexity should be O(log(m + n)).
分析
这是一道非常经典的题。这题更通用的形式是，给定两个已经排序好的数组，找到两者所有元
素中第 k 大的元素。
O(m + n) 的解法比较直观，直接 merge 两个数组，然后求第 k 大的元素。
不过我们仅仅需要第 k 大的元素，是不需要“排序”这么复杂的操作的。可以用一个计数器，
记录当前已经找到第 m 大的元素了。同时我们使用两个指针 pA 和 pB，分别指向 A 和 B 数组的第
一个元素，使用类似于 merge sort 的原理，如果数组 A 当前元素小，那么 pA++，同时 m++；如果
数组 B 当前元素小，那么 pB++，同时 m++。最终当 m 等于 k 的时候，就得到了我们的答案，O(k)
时间，O(1) 空间。但是，当 k 很接近 m + n 的时候，这个方法还是 O(m + n) 的。
有没有更好的方案呢？我们可以考虑从 k 入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第 k 大元
素之前的元素，那么我们需要进行 k 次。但是如果每次我们都删除一半呢？由于 A 和 B 都是有序
的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。
假设 A 和 B 的元素个数都大于 k/2，我们将 A 的第 k/2 个元素（即 A[k/2-1]）和 B 的第 k/2
个元素（即 B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设 k 为偶数，所得到的结
论对于 k 是奇数也是成立的）：
• A[k/2-1] == B[k/2-1]
• A[k/2-1] > B[k/2-1]
• A[k/2-1] < B[k/2-1]
如果 A[k/2-1] < B[k/2-1]，意味着 A[0] 到 A[k/2-1 的肯定在 A ∪ B 的 top k 元素的范围
内，换句话说，A[k/2-1 不可能大于 A ∪ B 的第 k 大元素。留给读者证明。
因此，我们可以放心的删除 A 数组的这 k/2 个元素。同理，当 A[k/2-1] > B[k/2-1] 时，可
以删除 B 数组的 k/2 个元素。
当 A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，说明找到了第 k 大的元素，直接返回 A[k/2-1] 或 B[k/2-1]
即可。
因此，我们可以写一个递归函数。那么函数什么时候应该终止呢？
• 当 A 或 B 是空时，直接返回 B[k-1] 或 A[k-1]；
• 当 k=1 是，返回 min(A[0], B[0])；
• 当 A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，返回 A[k/2-1] 或 B[k/2-1]
代码：
1 public class Median { 2 3 public static void main(String[] args) { 4 int[] A= {2,3,5}; 5 int[] B= {4,5,6}; 6 int m=A.length; 7 int n=B.length; 8 int total = m + n; 9 if(total%2==1) //判奇偶 10 System.out.println( find_kth(A, m, B, n, total / 2 + 1)); //奇数 11 else 12 System.out.println((find_kth(A, m, B, n, total / 2) +
find_kth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2);
//偶数，中间位如果是偶数要除以2 13 } 14 private static double find_kth(int A[], int m, int B[], int n, int k) { 15 if (m > n) return find_kth(B, n, A, m, k); //m,n大小相反，则发一下 16 if (m == 0) return B[k - 1]; //A[0]、B[0] k=2 17 if (k == 1) return Math.min(A[0], B[0]); 18 //将K分成两部分 19 int pa = Math.min(k / 2, m), pb = k - pa; 20 if (A[pa - 1] < B[pb - 1]) { 21 int[] Apa=new int[m-pa]; 22 for(int i=0;i<m-pa;i++) { 23 Apa[i]=A[pa+i]; 24 } 25 return find_kth(Apa, m - pa, B, n, k - pa); 26 } 27 else if (A[pa - 1] > B[pb - 1]) { 28 int[] Bpb=new int[n-pb]; 29 for(int i=0;i<n-pb;i++) { 30 Bpb[i]=B[pa+i]; 31 } 32 33 return find_kth(A, m, Bpb, n - pb, k - pb); 34 }else 35 return A[pa - 1]; 36 } 37 }