用位运算实现四则运算之加减乘除（用位运算求一个数的1/3） via Hackbuteer1

转自：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7390093

^: 按位异或；&：按位与； | ：按位或

计算机系统中，数值一律用补码来表示：因为补码可以使符号位和数值位统一处理，同时可以使减法按照加法来处理。

对补码做简单介绍：数值编码分为原码，反码，补码，符号位均为0正1负。

原码 -> 补码： 数值位取反加1

补码 -> 原码： 对该补码的数值位继续 取反加1

补码 的绝对值（称为真值）：正数的真值就是本身，负数的真值是各位（包括符号位）取反加1（即变成原码并把符号位取反）.

b -> -b ： 各位（包括符号位）取反加1

加法运算：将一个整数用二进制表示，其加法运算就是：相异（^）时，本位为1，进位为0；同为1时本位为0，进位为1；同为0时，本位进位均为0.

所以，不计进位的和为sum = a^b，进位就是arr = a&b,(与sum相加时先左移一位，因为这是进位）。完成加法直到进位为0.

减法运算：a-b = a+(-b)　　根据补码的特性，各位取反加1即可（注意得到的是相反数，不是该数的补码，因为符号位改变了）

（上面用二进制实现的加减法可以直接应用于负数）

乘法运算：原理上还是通过加法计算。将b个a相加，注意下面实际的代码。

除法运算：除法运算是乘法的逆。看a最多能减去多少个b，

---

加法运算：

int AddWithoutArithmetic(int num1,int num2)
{
    if(num2==0) return num1;//没有进位的时候完成运算
    int sum,carry;
    sum=num1^num2;//完成第一步没有进位的加法运算
    carry=(num1&num2)<<1;//完成第二步进位并且左移运算
    return AddWithoutArithmetic(sum,carry);//进行递归，相加
}

//简化一下：
int Add(int a,int b)
{
    return b ? Add(a^b,(a&b)<<1) : a;
    /*if(b)
        return Add(a^b,(a&b)<<1);
    else
        return a;*/
}

//上面的思路就是先不计进位相加，然后再与进位相加，随着递归，进位会变为0，递归结束。 

---

非递归的版本如下：

int Add(int a, int b)
{
    int ans;
    while(b)
    {   //直到没有进位
        ans = a^b;        //不带进位加法
        b = ((a&b)<<1);   //进位
        a = ans;
    }
    return a;
} 

---

减法运算：

//这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。
int negtive(int a)   //取补码
{
    return Add(~a, 1);
}
int Sub(int a, int b)
{
    return Add(a, negtive(b));
} 

---

正数乘法运算：

//正数乘法运算
int Pos_Multiply(int a,int b)
{
    int ans = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans = Add(ans, a);
        a = (a<<1);
        b = (b>>1);
    }
    return ans;
}

---

整数除法（正整数）

//除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。
int Pos_Div(int x,int y)
{
    int ans=0;
    for(int i=31;i>=0;i--)
    {
        //比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出
        if((x>>i)>=y)
        {
            ans+=(1<<i);
            x-=(y<<i);
        }
    }
    return ans;
}

---

// 加减乘除位运算 
// 程序中实现了比较大小、加减乘除运算。所有运算都用位操作实现 
// 在实现除法运算时，用了从高位到低位的减法 
// 具体如下，算法也比较简单，所以没有作注释
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int Add(int a, int b)
{
    int ans;
    while(b)
    {  //直到没有进位
        ans = a^b;        //不带进位加法
        b = ((a&b)<<1);   //进位
        a = ans;
    }
    return a;
}

//这个和加法一样了，首先取减数的补码，然后相加。
int negtive(int a)   //取补码
{
    return Add(~a, 1);
}
int Sub(int a, int b)
{
    return Add(a, negtive(b));
}

// 判断正负 
int ispos( int a ) 
{ //正
    return (a&0xFFFF) && !(a&0x8000);
}
int isneg( int a ) 
{ //负
    return a&0x8000;
}
int iszero( int a )
{ //0
    return !(a&0xFFFF);
}

//正数乘法运算
int Pos_Multiply(int a,int b)
{
    int ans = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans = Add(ans, a);
        a = (a<<1);
        b = (b>>1);
    }
    return ans;
}

//乘法运算
int Multiply(int a,int b)
{
    if( iszero(a) || iszero(b) )
        return 0;
    if( ispos(a) && ispos(b) )
        return Pos_Multiply(a, b);
    if( isneg(a) )
    {
        if( isneg(b) )
        {
            return Pos_Multiply( negtive(a), negtive(b) );
        }
        return negtive( Pos_Multiply( negtive(a), b ) );
    }
    return negtive( Pos_Multiply(a, negtive(b)) );
}

//除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果x够减的）y^(2^31),y^(2^30),...y^8,y^4,y^2,y^1。减掉相应数量的y就在结果加上相应的数量。
int Pos_Div(int x,int y)
{
    int ans=0;
    for(int i=31;i>=0;i--)
    {
        //比较x是否大于y的(1<<i)次方，避免将x与(y<<i)比较，因为不确定y的(1<<i)次方是否溢出
        if((x>>i)>=y)
        {
            ans+=(1<<i);
            x-=(y<<i);
        }
    }
    return ans;
}

//除法运算
int MyDiv( int a, int b )
{
    if( iszero(b) )
    {
        cout << "Error" << endl;
        exit(1);
    }
    if( iszero(a) )
        return 0;
    if( ispos(a) )
    {
        if( ispos(b) )
            return Pos_Div(a, b);
        return negtive( Pos_Div( a, negtive(b)) );
    }
    if( ispos(b) )
        return negtive( Pos_Div( negtive(a), b ) );
    return Pos_Div( negtive(a), negtive(b) );
} 


// 比较两个正数的大小（非负也可） 
int isbig_pos( int a, int b ) 
{  //a>b>0
    int c = 1;
    b = (a^b);
    if( iszero(b) )
        return 0;
    while( b >>= 1 )
    {
        c <<= 1;
    }
    return (c&a);
} 

// 比较两个数的大小 
int isbig( int a, int b ) 
{ //a>b
    if( isneg(a) )
    {
        if( isneg(b) )
        {
            return isbig_pos( negtive(b), negtive(a) );
        }
        return 0;
    }
    if( isneg(b) )
        return 1;
    return isbig_pos(a, b);
}