scipy题目（高级编程技术 week-13）

第一题 Least squares

关于这一道题，使用scipy库中的leastsq函数即可求解。

第一步：先生成可用的矩阵和向量

在本题中，我需要先生成矩阵$A$，向量$b$，考虑到后期该问题需要有解，向量$b$不随机生成，而是先随机生成x，然后算出b。代码如下

import scipy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 维数
m = 20
n = 10
# 生成矩阵A
A = np.random.normal(size=(m,n), scale=15, loc=10)
# 生成假想的该问题应有的解
xx = np.random.normal(size=n,scale=15, loc=10)
# 生成该解对应的向量b
b = np.dot(A, xx)

在生成了可用的数据后，便使用leastsq函数解决问题，代码如下

from scipy.optimize import leastsq
# 问题求解初始向量
x = np.ones(10)
# 误差函数
def error(xx):
    return np.dot(A, xx) - b

x_result,cov_x = leastsq(error, x)

print(x_result, cov_x)
# 计算误差向量的范数
norm_residual = np.linalg.norm(np.dot(A, x_result) - b)
print(norm_residual)

运行以上代码后，可以得到下面的解：

第二题 Optimization

求函数最大值，使用scipy自带的fmin函数即可，这里稍微转换一下，由于只有fmin这个函数可用，而我们找的又是最大值，我们就只需要给函数加个负数，就变成了求最小值，这样子就把问题转换过来了。下面是代码：

def func(x):
    return -(np.sin(x-2) * np.sin(x-2) * np.exp(-x**2))
minimum = sp.optimize.fmin(func, 1)
print(minimum)

求得的结果是

经过绘图检验，可见的确是在$x \approx 0.2162$左右这个点处取得最大值。

第三题 Pairwise distances

在scipy文档中，找到了这样的函数可以实现计算行之间的距离的功能：pdist

因此实现的代码如下：

from scipy.spatial.distance import pdist
m = 30
n = 20
X = np.random.normal(size=(n, m), scale=10, loc=10)
Y = pdist(X, 'sqeuclidean')
print(Y.shape)
print(Y)

注意，这里需要说明的数，这里使用的是欧拉距离公式，因此在函数参数中有一个sqeuclidean的项。

文档内容可见

结果可见

经过检验，的确应该是190个数（毕竟 20 * 19 /2 )， 其余的结果也是正确的。