numpy实战（高级编程技术week 11）

做题前

在这里，我使用了这样的代码来产生符合题目条件的矩阵

import numpy as np
from scipy.linalg import toeplitz
A = np.mat(np.random.normal(size=(200,500)))
B = np.mat(toeplitz(np.random.normal(size=500),np.random.normal(size=500)))
A,B

这里写图片描述

第一题

这里写图片描述

这里还是一些比较简单正常的计算，代码如下

a1 = A + A
a2 = A.dot(A.T)
a3 = A.T.dot(A)
a4 = A.dot(B)
a1,a2,a3,a4

结果如下：
1526817566141 .png)

同时，根据题目要求，我还写了这样的一个函数，并且测试了一下。

def t1(lamda):
    return A.dot(B-lamda*np.eye(500))
t1(4)

结果如图所示
这里写图片描述

第二题

这里写图片描述
首先使用np.random.normal函数生成这样的向量，为了求解该方程，可以考虑方程左右两边同时乘上矩阵 $B$ 的逆，即 $x = B'b$ 。

b = np.random.normal(size=(500,1))
x = B.I.dot(b)
x

结果如下

这里写图片描述

问题三：范数

这里写图片描述
这一道题主要考虑的是np.linalg.norm函数的使用。

查阅文档得知，该函数的原型为numpy.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)同时参数的功能如下表：
这里写图片描述
由此，可以写出这道题的代码

np.linalg.norm(A, ord='fro') # Frobenius norm
np.linalg.norm(B, ord=np.inf) # infinity norm
np.linalg.norm(B, ord=2) # biggest singular values
np.linalg.norm(B, ord=-2) # smallest singular values

结果可见
这里写图片描述

问题四

这里写图片描述
关于这个幂迭代法求解矩阵的特征向量，我使用了以下代码来实现。

def power_iteration(A, error):
    v_k = np.random.rand(A.shape[1])
    v_k1 = np.random.rand(A.shape[1])
    count = 0
    while np.linalg.norm(v_k - v_k1) >= error:
        v_k = v_k1
        u_k1 = np.dot(A, v_k)
        m_k1 = np.max(u_k1)
        v_k1 = u_k1/m_k1
        count += 1

    return (np.max(u_k1), v_k1, count)

power_iteration(np.array([[-4, 14, 0], [-5, 13, 0], [-1, 0, 2]]), 0.00000001)
#Z = np.random.normal(size=(200,200))
#power_iteration(Z, 0.000000001)

在进一步的测试中，验证了该程序的正确性。

我计算了 $\begin{bmatrix} -4 & 14 & 0 \\ -5 & 13 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ 该矩阵的特征值和特征向量，与自己算的值是一致的。见下图：

1526821761320 .png)

问题五

这里写图片描述
这里需要探寻 $n$ , $p$ ,还有最大奇异值之间的关系。从scipy的文档中找到关于求奇异值的函数：scipy.linalg.svd(C),其中第二个返回值就是奇异值列表。

from scipy import linalg
def get_singular_value(size, p):
    t = np.random.rand(size, size) > p
    C = np.zeros((size,size))
    C[t]=1
    s_v = linalg.svd(C)[1]
    l_s_v = np.max(s_v)
    return l_s_v

get_singular_valut(200,0.6)

t = []
for n in range(5,300):
     t.append(get_singular_value(n,0.6))
plt.plot(range(5,300), t)

t = []
for n in np.linspace(0,1,30):
    t.append(get_singular_value(100,n))
plt.plot(np.linspace(0,1,30),t)

plt.show()

通过实验，得知，当n渐渐变大时，最大奇异值也在变大

这里写图片描述
当p变小的时候，最大奇异值变小，如下图

问题六

这里写图片描述

这里要写一个函数，去寻找数据A中最接近 $z$ 的数，函数需要返回最接近的值，以下是代码实现。

def find_nearest(A, z):
    return A[np.argmin(np.abs(A-z))]

以下是运行截图：
1526823900930

参考资料

wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration
numpy文档：https://www.numpy.org/devdocs/reference/