一般我们在解决立体几何题目时会选择建立坐标系，因为这样做比较保险也有固定套路。很多时候这些题目要求你计算某一个面的法向量（normal vector），这在高中阶段也是有固定方法的，我们这里想要介绍的是一种更高级也更迅速的方法，也就是引入向量叉乘（cross product，“向量”同物理中的“矢量”概念，一直想不通为啥数学和物理用不一样的名字，英文都是vector）这一概念。
我们都学过向量的标量积，也就是所谓的点乘（dot product），两个向量做标量积后得到的是一个标量。我们这里定义一种新的向量运算，也就是向量积或者叫叉乘:
其运算结果仍是一个向量，我们记之为向量c，它的模定义为：
其中θ为向量a和向量b的夹角，如下图所示，c的模即以a和b为两条边的平行四边形的面积。
c的方向定义为垂直于a和b所构成的平面，并且a，b和c构成右手螺旋定则，也就是右手四指方向从a转向b，大拇指即得到c方向。定义了这一新的运算之后，我们从这个定义出发能证明以下几条重要性质：
前两条性质根据定义一眼就能看出，第三条叉乘的分配律是非常重要的性质，证明也比较困难，我们不打算赘述了。
那么在三维坐标系中，a和b拥有了坐标表示后，c的坐标该怎么计算呢？记x，y，z轴正方向的单位向量分别为i，j，k，则有：
则根据叉乘的上述三条性质我们得到c为：
第二个等号我们运用了性质3，第三个等号我们运用了性质1和性质2，最后一个等号则运用了简单的i，j，k之间的叉乘关系。这一计算公式让我们直接能够从a和b的坐标表示得到c的坐标表示，用行列式可以更简洁地表示并方便记忆：
有了这个公式，对于任意一个面的法向量，我们总可以选取该面上的两个不共线向量来直接叉乘出来，一般解题中直接就选该面的两条边上的单位向量就行了。