Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
动图太快可以看下面的例子：
重点需要理解这句拗口的”按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度”
实际上，Dijkstra 算法是一个排序过程，就上面的例子来说，是根据A到图中其余点的最短路径长度进行排序，路径越短越先被找到，路径越长越靠后才能被找到，要找A到F的最短路径，我们依次找到了
A –> C 的最短路径 3
A –> C –> B 的最短路径 5
A –> C –> D 的最短路径 6
A –> C –> E 的最短路径 7
A –> C –> D –> F 的最短路径 9
为什么Dijkstra 算法不适用于带负权的图？
就上个例子来说，当把一个点选入集合S时，就意味着已经找到了从A到这个点的最短路径，比如第二步，把C点选入集合S，这时已经找到A到C的最短路径了，但是如果图中存在负权边，就不能再这样说了。举个例子，假设有一个点Z，Z只与A和C有连接，从A到Z的权为50，从Z到C的权为-49，现在A到C的最短路径显然是A –> Z –> C
再举个例子：
在这个图中，求从A到C的最短路，如果用Dijkstra根据贪心的思想，选择与A最接近的点C，长度为7，以后不再变化。但是很明显此图最短路为5。归结原因是Dijkstra采用贪心思想，不从整体考虑结果，只从当前情况考虑选择最优。
4.代码模板
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #define inf 0x3f3f3f3f 4 int map[110][110],dis[110],visit[110]; 5 /* 6 关于三个数组：map数组存的为点边的信息，比如map[1][2]=3，表示1号点和2号点的距离为3 7 dis数组存的为起始点与每个点的最短距离，比如dis[3]=5，表示起始点与3号点最短距离为5 8 visit数组存的为0或者1，1表示已经走过这个点。 9 */ 10 int n,m; 11 int dijstra() 12 { 13 int i,j,pos=1,min,sum=0; 14 memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化为.，表示开始都没走过 15 for(i=1; i<=n; ++i) 16 { 17 dis[i]=map[1][i]; 18 } 19 visit[1]=1; 20 dis[1]=0; 21 for(i=1; i<n; i++) 22 { 23 min=inf; 24 for(j=1; j<=n; ++j) 25 { 26 if(visit[j]==0&&min>dis[j]) 27 { 28 min=dis[j]; 29 pos=j; 30 } 31 } 32 visit[pos]=1;//表示这个点已经走过 33 for(j=1; j<=n; ++j) 34 { 35 if(visit[j]==0&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])//更新dis的值 36 dis[j]=dis[pos]+map[pos][j]; 37 } 38 } 39 return dis[n]; 40 } 41 int main() 42 { 43 int i,j; 44 while(~scanf("%d%d",&n,&m),n||m)//n表示n个点，m表示m条边 45 { 46 for(i=1; i<=n; ++i) 47 { 48 for(j=1; j<=n; ++j) 49 { 50 map[i][j]=inf;//开始时将每条边赋为最大值 51 } 52 } 53 int a,b,c; 54 for(i=1; i<=m; ++i) 55 { 56 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 57 if(c<map[a][b])//防止有重边 58 map[a][b]=map[b][a]=c; 59 } 60 int count=dijstra(); 61 printf("%d\n",count); 62 } 63 return 0; 64 }
邻接表实现：
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<vector> 4 #include<algorithm> 5 #define INF 0x3f3f3f3f 6 using namespace std; 7 struct node 8 { 9 int end;///终点 10 int power;///权值 11 } t; 12 int n;///n为点数 13 vector<node>q[500001];///邻接表储存图的信息 14 int dis[500001];///距离 15 int vis[500001];///标记数组 16 void Dijkstra(int start,int end) 17 { 18 int i,len,j,pos; 19 memset(vis,0,sizeof(vis)); 20 for(i=0; i<=n; i++) 21 { 22 dis[i]=INF; 23 } 24 len=q[start].size(); 25 for(i=0; i<len; i++) 26 { 27 if(q[start][i].power<dis[q[start][i].end]) 28 { 29 dis[q[start][i].end]=q[start][i].power; 30 } 31 }///从起点开始的dis数组更新 32 vis[start]=1; 33 for(j=0; j<n-1; j++) 34 { 35 int pos,min=INF; 36 for(i=1; i<=n; i++) 37 { 38 if(vis[i]!=0&&dis[i]<min) 39 { 40 min=dis[i]; 41 pos=i;///找到未访问节点中权值最小的 42 } 43 } 44 vis[pos]=1; 45 len=q[pos].size();///再次更新dis数组 46 for(j=0; j<len; j++) 47 { 48 if(vis[q[pos][j].end]==0&&dis[q[pos][j].end]>q[pos][j].power+dis[pos]) 49 { 50 dis[q[pos][j].end] = q[pos][j].power+dis[pos]; 51 } 52 } 53 } 54 printf("%d\n",dis[end]); 55 } 56 int main() 57 { 58 int m,i; 59 int begin,end,power; 60 int a,b; 61 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 62 { 63 for(i=0; i<=n; i++) 64 { 65 q[i].clear();///将victor数组清空 66 } 67 for(i=0; i<m; i++) 68 { 69 scanf("%d%d%d",&begin,&end,&power);///输入 70 t.end=end; 71 t.power=power; 72 q[begin].push_back(t); 73 t.end=begin;///无向图 74 t.power=power; 75 q[end].push_back(t); 76 } 77 scanf("%d%d",&a,&b);///输入起点与终点 78 Dijkstra(a,b); 79 } 80 return 0; 81 }
Floyd算法
1.介绍
floyd算法只有五行代码，代码简单，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)，可以求多源最短路问题。
2.思想：
Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。
举个例子：已知下图，
如现在只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路程，只需判断e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。其中i是1~n循环，j也是1~n循环，代码实现如下。
1 for(i=1; i<=n; i++) 2 { 3 for(j=1; j<=n; j++) 4 { 5 if ( e[i][j] > e[i][1]+e[1][j] ) 6 e[i][j] = e[i][1]+e[1][j]; 7 } 8 }
接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路程。在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，代码实现为如下。
1 //经过1号顶点 2 for(i=1; i<=n; i++) 3 for(j=1; j<=n; j++) 4 if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) 5 e[i][j]=e[i][1]+e[1][j]; 6 //经过2号顶点 7 for(i=1; i<=n; i++) 8 for(j=1; j<=n; j++) 9 if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j]) 10 e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];
最后允许通过所有顶点作为中转，代码如下：
1 for(k=1; k<=n; k++) 2 for(i=1; i<=n; i++) 3 for(j=1; j<=n; j++) 4 if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]) 5 e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
这段代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。与上面相同
3.代码模板：
1 #include <stdio.h> 2 #define inf 0x3f3f3f3f 3 int map[1000][1000]; 4 int main() 5 { 6 int k,i,j,n,m;///n表示顶点个数，m表示边的条数 7 scanf("%d %d",&n,&m); 8 for(i=1; i<=n; i++)///初始化 9 { 10 for(j=1; j<=n; j++) 11 { 12 if(i==j) 13 map[i][j]=0; 14 else 15 map[i][j]=inf; 16 } 17 } 18 int a,b,c; 19 for(i=1; i<=m; i++)///有向图 20 { 21 scanf("%d %d %d",&a,&b,&c); 22 map[a][b]=c; 23 } 24 for(k=1; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心语句 25 { 26 for(i=1; i<=n; i++) 27 { 28 for(j=1; j<=n; j++) 29 { 30 if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] ) 31 { 32 map[i][j]=map[i][k]+map[k][j]; 33 } 34 } 35 } 36 } 37 for(i=1; i<=n; i++)///输出最终的结果,最终二维数组中存的即使两点之间的最短距离 38 { 39 for(j=1; j<=n; j++) 40 { 41 printf("%10d",map[i][j]); 42 } 43 printf("\n"); 44 } 45 return 0; 46 }