带通信号的低通等效
满足带宽远小于载波频率的信号与信道（系统）称为窄带带通信号与信道（系统）。
解析信号与Hilbert变换
对于一个带通信号x(t）在只考虑正频率的情况下信号可以表示为
X+(f) = 2u(f) X(f)
X(f)为x(t)的Fourier变换，u(f)为单位阶跃函数
x+(t)称为解析信号或者x(t)的预包络
定义
可以看作一个滤波器在输入信号x(t)激励下的输出，该滤波器的冲击响应为h(t)=1/πt , -∞<t<∞
这种滤波器称为Hilbert变换器，频率响应为
%载波频率20HZ,选取采样间隔ts=0.01s
ts = 0.01;
%采样频率fs=1/ts=100HZ
fs = 1/ts;
t = 0:ts:10;
%确定DFT的频率分辨率
df = fs / length(t);
%生成频率矢量
f = -50:df:50-df;
%生成信号
x = exp(-10*abs(t-5)).*cos(2*pi*20*t);
%求信号的频谱
X = fft(x)/fs;
%x(t)的解析信号xa(t)
xa = hilbert(x);
%求xa的频谱
Xa = fft(xa)/fs;
subplot(2,1,1);plot(t,x);title('信号x');xlabel('时间t')
subplot(2,1,2);plot(t,fftshift(abs(X)));title('信号X幅度谱');xlabel('频率f')
figure
subplot(2,1,1);plot(t,abs(xa));title('信号xa包络');xlabel('时间t')
subplot(2,1,2);plot(t,fftshift(abs(Xa)));title('信号Xa幅度谱');xlabel('频率f')
随机信号分析
平稳随机过程的相关函数与功率谱密度
平稳随机过程就是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。
平稳随机过程的功率谱密度定义为自相关函数的Fourier变换，即
一个平稳随机过程X(t)的自相关函数可以由功率谱密度的Fourier逆变换得到
- 产生100个N=2000的独立同分布的均值为0.方差为1的高斯分布随机数的离散时间序列，计算序列的自相关估值和功率谱密度的平均值。
N1 = 2000;
N2 = 100;
%产生100行2000列的高斯分布随机数，其均值为0，方差为1，每一行代表一个离散时间序列
x = randn(N2,N1);
%依次计算每一行的自相关函数估值和功率谱密度估值
for ii = 1:N2
[Rx(ii,:),lags] = xcorr(x(ii,:),50,'coeff');
%xcorr计算自相关值的函数，第一个参数计算自相关值的序列，第二个参数是指定计算自相关值的最大时间偏移
%自相关值时间偏移是从R（-50）到R（50）
Sf(ii,:) = fftshift(abs(fft(Rx(ii,:))));
end
%把计算出来的自相关估值和功率谱密度估值进行平均
Rx_av = sum(Rx)/N2;
Sf_av = sum(Sf)/N2;
subplot(2,1,1);plot(lags,Rx_av);title('自相关函数')
subplot(2,1,2);plot(lags,Sf_av);title('功率谱密度')
axis([-50 50 0 2])
带通随机过程
若随机过程的功率谱在某中心频率±f0附近的一个频带内有值，而在该频带之外的功率谱密度为0，就称这个随机过程为带通过程，若通带B<<f0,则称过程为窄带过程。
ts = 0.002;
tao = -1:ts:1;
B = 20;
f0 = 100;
R = sinc(2*B*tao).*cos(2*pi*f0*tao);
fs = 1/ts;
df = fs/length(tao);
f = -fs/2:df:fs/2-df;
S = fft(R)/fs;
subplot(2,1,1);plot(tao,R);title('自相关函数');xlabel('tao');ylabel('R');
subplot(2,1,2);plot(f,fftshift(abs(S)));title('功率谱密度');xlabel('f');ylabel('S');
由上图随机过程的功率谱密度在中心频率±100HZ，带宽40HZ的范围内有值，而在此频带之外，功率谱密度为0，所以这个随机过程为带通随机过程。