三维圆圈的MATLAB绘制程序

绘制3维圆圈

空间圆的参数方程

对于一般情况，即圆心为$(x_0,y_0,z_0)$，半径为$r$，位于平面
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,A^2+B^2\ne 0\text{\hspace{1em}(1)}$$
上的圆的参数方程可以写为：
$$\begin{array}{rl}x& =x_0+r\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos \theta +r\frac{AC}{\sqrt{A^2+B^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}sin\theta \\ y& =y_0-r\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos \theta +r\frac{BC}{\sqrt{A^2+B^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}sin\theta \\ z& =z_0-r\frac{\sqrt{A^2+B^2}}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}sin\theta ,0⩽\theta ⩽2\pi \end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，$\vec{n}=(A,B,C)$对应平面的法向向量。

• 注：该方程针对 $A$ 与 $B$ 不同时为0的情况。

MATLAB代码实现

clear,clc
close all
%% 定义初始圆的参数
% 定义3维圆圈的圆心坐标
O = [0, 0, 0];
% 定义半径的大小
r = 2;
% 定义法向向量
n = [1, 1, 2];
%% 开始绘制3维圆圈
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
x = O(1)+r*n(2)/sqrt(n(1)^2+n(2)^2).*cos(theta)+...
	r*n(1)*n(3)/(sqrt(n(1)^2+n(2)^2)*sqrt(n(1)^2+n(2)^2+n(3)^2)).*sin(theta);
y = O(2)-r*n(1)/sqrt(n(1)^2+n(2)^2).*cos(theta)+...
	r*n(2)*n(3)/(sqrt(n(1)^2+n(2)^2)*sqrt(n(1)^2+n(2)^2+n(3)^2)).*sin(theta);
z = O(3)-r*sqrt(n(1)^2+n(2)^2)/sqrt(n(1)^2+n(2)^2+n(3)^2).*sin(theta);
plot3(x,y,z,'r-', 'LineWidth', 1.3)
hold on

另一种球面坐标系中空间圆参数方程的描述

上图所示是球坐标系下的点$(r,\theta ,\varphi )$，球坐标系与对应的空间直角坐标系上某一点$(x,y,z)$之间可通过下式建立联系：
$$\begin{array}{rl}x& =rsin(\theta )cos(\varphi )\\ y& =rsin(\theta )sin(\varphi )\\ z& =rcos(\theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

MATLAB代码实现

定义三维圆圈的圆心坐标 $O$ 和半径 $r$。同时定义圆的法向向量 $v$。

clear,clc
close all
%% 定义初始圆的参数
% 定义3维圆圈的圆心坐标
O = [0, 0, 0];
% 定义半径的大小
r = 2;
% 定义法向向量
n = [1, 1, 2];
%% 开始绘制3维圆圈
phi = linspace(0,2*pi,100);     % 绘制完整圆一定是(0,2*pi)
theta = atan(-(n(1)*cos(phi)+n(2)*sin(phi))/n(3));
% 球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系表达式
x_r = O(1)+r*cos(theta).*cos(phi);
y_r = O(2)+r*cos(theta).*sin(phi);
z_r = O(3)+r*sin(theta);
plot3(x_r,y_r,z_r,'r-', 'LineWidth', 1.3)
hold on
axis equal
plot3(O(1),O(2),O(3),'ro','MarkerFaceColor','r')
t1 = linspace(0,1,100);
plot3(O(1)+n(1)*phi([1 5]),...
    O(2)+n(2)*phi([1 5]),...
    O(3)+n(3)*phi([1 5]),...
    'b-', 'LineWidth', 1.5)
hold off

参考文献

罗治国.空间圆的参数方程及其应用[J].湖南师范大学自然科学学报,2012,35(06):24-26.