冲击波理论

冲击波理论

冲击波理论（the kinematic wave theory，也称LWR理论）最初是由Lighthill, M. J和Whitham, G. B. 以及Richards, P. I. 于上世纪50年代提出的。该理论假设车流是一种类似于水流的运动，可以通过流量、密度和速度之间的关系来描述车流的演变过程。其中，L表示车流的密度（vehicles/km），W表示车流的流量（vehicles/hour），R表示车流的速度（km/hour），因此该理论被称为LWR理论。

LWR理论是交通流理论的一种，它被用来研究交通流的动力学特性。LWR理论的基本假设是，车辆的密度和速度是通过一个波动模型来描述的，这个波动模型被称为“动力波”，其速度和密度的变化受到交通流中车辆数量的影响。

他们将交通流类比为由车辆组成的可压缩连续流体介质，用车流的平均速度（velocity）、平均密度（density）和流率（flow）等宏观变量来描述交通流的演化过程。LWR理论的核心是时空中任意一点的流量q和密度k之间的函数关系。假设研究区域没有驶入驶出，守恒定律满足下述关系：

冲击波理论可以描述道路交通流在时空上的变化特征，是估计车辆运行轨迹的基础。Newell, G. F.在整合驶入-驶出累积曲线和冲击波理论的基础上，通过在时空图二维坐标系中增加路网节点的累积车辆数量（第三维），提出了三维冲击波理论。假设在封闭的一维研究区域中，车辆遵守先进先出（First In First Out，简称FIFO）的原则，那么在距离dx的空间范围内，通过的累计车辆数为
其中，N(x,t) 是指在点(x,t)处的累计车辆数；在分段线性基本图（即三角形基本图）的假设下 dN只取两个值：交通波向前传递时为0，向后传播时为（kj * dx） ，kj 是指阻塞密度。

基于三维冲击波的变分理论

在三维冲击波理论的基础上，Daganzo, C. F.于2005年提出了一种基于变分理论（Variational Theory，简称VT）和比较通行能力约束的路网交通流计算模型。该计算模型在初始点 (x0,t0)给定一定的边界条件，即可估计时空图中任意一点 (x,t)处的累积车辆数。本文将该模型定义为基于三维冲击波的变分理论（the variational theory of kinematic waves为原文）。
在应用层面，基于三维交通波的变分理论从本质上讲反映了具有凹密度函数关系的冲击波形式的交通流问题可以通过在离散化时空网格上使用最短路径法加以解决。所以基于三维交通波的变分理论的应用基础是离散化时空图，如下图（初始变分网络）所示。

在三角形基本图的假设下，离散化时空图的参数认为已知。其中，前向弧波速为 u（自由流速度），后向弧波速为 w（消散波速度），时间步长 tstep 作为输入变量通常假设为1s以方便计算，空间步长sstep可通过如下公式获得。

其中， 和 qmax和kj分别表示最大流量和阻塞密度，通常可以从实际数据中获得。

总结：基于三维冲击波的变分理论有一个强假设，即流量-密度关系服从三角形基本图。该理论在实际的应用中国是通过离散化时空图实现的。