一、快速排序
核心思想： 把一个序列分为两部分，左半部分所有数均小于等于或大于等于右半部分所有数，递归处理左右两部分
具体步骤： 其中q为一个数组，l为数组的左端点下标，r为数组的右端点下标
- 确定分界点
q[(l+r)>>1]，也就是q[(l+r)/2] - 利用双指针交换调整左右区间，使左区间内数据均小于等于右区间内数据（升序排序），或者使左区间内数据均大于等于右区间内数据（降序排序）
- 递归处理左右区间
[l,j]和[j+1,r]
算法示例：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int q[N];
void quick_sort(int* q, int l, int r)//快排模板
{
if (l >= r) return;//必须 >=
int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
while (i < j)
{
while (q[++i] < x);
while (q[--j] > x);
if (i < j) swap(q[i], q[j]);
}
quick_sort(q, l, j);
quick_sort(q, j + 1, r);
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
quick_sort(q, 0, n - 1);
for (int i = 0; i < n; ++i) cout << q[i] << " ";
}
二、快速选择
简介： 快速选择算法是基于快速排序实现的一种时间复杂度为O(n)的算法，其作用是找到一个序列中第k小的数
步骤：
- 大体上和快排算法差不多。
- 区别在于如果k小于等于左半区间的长度，递归处理左半部分；
- 否则，递归处理右半部分。
算法示例：
const int N = 100010;
int q[N];
int quick_sort(int l, int r, int k)
{
if (l == r) return q[l]; //可以以==，也可以>=
int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
while (i < j) {
while (q[++i] < x);
while (q[--j] > x);
if (i < j) swap(q[i], q[j]);
}
int sl = j - l + 1;//sl为左区间元素的个数
if (k <= sl) return quick_sort(l, j, k);
return quick_sort(j + 1, r, k - sl);
}
int main()
{
int n, k;
cin >> n >> k;
for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
cout << quick_sort(0, n - 1, k) <<endl;
}
三、归并排序
核心思想： 把两个有序且同序的序列，合并为一个有序的序列
具体步骤：
- 确定分界点，把区间
[l,r]，分为[l,mid]和[mid+1,r] - 递归处理 左右区间
[l,mid]和[mid+1,r] - 归并，把两个有序的区间合并为一个有序区间
算法示例：
const int N = 1e6 + 10;
int q[N], t[N];
void merge_sort(int* q, int l, int r)//归并排序模板
{
if (l >= r) return;
int mid = l + r >> 1;
merge_sort(q, l, mid);
merge_sort(q, mid + 1, r);
int k = 0, i = l, j = mid + 1;
while (i <= mid && j <= r)
{
if (q[i] <= q[j]) t[k++] = q[i++];
else t[k++] = q[j++];
}
while (i <= mid) t[k++] = q[i++];
while (j <= r) t[k++] = q[j++];
for (int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j) q[i] = t[j];
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
merge_sort(q, 0, n - 1);
for (int i = 0; i < n; ++i) cout << q[i] << " ";
}
四、逆序对的数量
逆序对定义：两个数，前者大于后者，则称这两个数为一个逆序对
简述： 求一个序列中逆序对的数量
算法示例：
typedef long long ll;//结果可能大于int的范围,函数返回值用long long类型
const int N = 100010;
int q[N], t[N];
ll merge_sort(int l, int r)
{
if (l >= r) return 0;
int mid = l + r >> 1;
ll ret = merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r);
int k = 0, i = l, j = mid + 1;
while (i <= mid && j <= r) {
if (q[i] <= q[j]) t[k++] = q[i++];
else {
t[k++] = q[j++];
ret += mid - i + 1;
}
}
while (i <= mid) t[k++] = q[i++];
while (j <= r) t[k++] = q[j++];
for (int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j) q[i] = t[j];
return ret;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
cout << merge_sort(0, n - 1) << endl;
}