前言

图是一种比较复杂的数据结构，每个结点之间可以有多种关系。
所以，一个图可以呈现出千奇百怪的形式。
对于不同的形式的图，我们可以用不同的存储方式来进行存储。

比如说：

对于边比较少而结点很多的图，我们需要把更多的存储空间用于存放顶点的信息，如果两个顶点之间不存在边，那么就不需要花费存储空间来说明这个地方没有边。
对于边比较多而顶点相对没那么多的图，在每一个顶点之间，都很有可能存在边，如果每一条边都单独考虑，会显得比较繁琐。
对于插入和删除边的操作做的比较多的图，我们更希望更快的找到这条边的信息在那个位置，于是具有随机存取性质的数据结构更加实用。

像这样的例子还有很多，下面总结一下最常用的两种存储方式——邻接矩阵和邻接表。

一、邻接矩阵

1.概念

所谓邻接矩阵存储，是指用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组存储图中边的信息（即各顶点之间的邻接关系)，存储顶点之间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。

顶点数为n的图G的邻接矩阵为 $\ n×n$ 的二维数组，如果记顶点编号为v₁, v₂, …, v_n，则对于顶点v_i和v_j，若存在一条边(v_i, v_j)∈E，则A[i][j] = 1，否则A[i][j] = 0，即

$A[i][j]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { 若 }\left(v_{i}, v_{j}\right) \text { 或 }\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle \text { 是 } E(G) \text { 中的边 } \\ 0, & \text { 若 }\left(v_{i}, v_{j}\right) \text { 或 }\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle \text { 不是 } E(G) \text { 中的边 } \end{array}\right.$

对于带权图而言,若顶点v,和 v;之间有边相连,则邻接矩阵中对应项存放着该边对应的权值，若顶点V和V不相连，则用 $\ \infty$ 来代表这两个顶点之间不存在边:

$A[i][j]=\left\{\begin{array}{ll} w_{i j}, & \text { 若 }\left(v_{i}, v_{j}\right) \text { 或 }\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle \text { 是 } E(G) \text { 中的边 } \\ 0 \text { 或 }\infty, & \text { 若 }\left(v_{i}, v_{j}\right) \text { 或 }\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle \text { 不是 } E(G) \text { 中的边 } \end{array}\right.$

2.图像示例

无向图和它的邻接矩阵可以表示为下图形式：
有向图和它的邻接矩阵可以表示为下图形式：

3. 代码实现

图的邻接矩阵代码实现：

#include<iostream>
#include<string>
#include<assert.h>
using namespace std;

#define MaxVertexNum 100		//顶点数目的最大值
#define INF 0xfffffff
//顶点的数据类型
typedef string VertexType;	
//带权图中边上权值的数据类型	
typedef int EdgeType;
//定义图的类型 
typedef enum GraphType{
    
    
	UDG, DG, UDN, DN
}GraphType;	
//邻接矩阵数据结构定义	
typedef struct{
    
    
	VertexType Vex[MaxVertexNum];				//顶点表
	EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];	//边表
	int vexnum, arcnum;							//图的当前顶点数和弧数
	GraphType type;								//标记图的类型 
}MGraph, *graph;

void graph_create(MGraph &g);				//图的定义 
int vertex_index(MGraph g, string v);		//返回顶点v的坐标
void graph_add_vertex(MGraph &g, string v);	//添加顶点
bool graph_has_vertex(MGraph &g, string v);	//检查是否存在顶点v
void graph_add_edge(MGraph &g, string v1, string v2);		//添加边 
bool graph_has_edge(MGraph g, string v1, string v2);		//检查是否存在v1->v2的边 
void show_graph(MGraph g);					//打印图 


void graph_create(MGraph &g){
    
    	
	string str;
	cout << "请输入要定义的图的类型：" << endl << "UDG（无向图）  DG（有向图）  UDN（无向网）  DN（有向网）" << endl; 
	cin >> str;
	//初始化邻接矩阵 
	for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){
    
    
		for(int j = 0; j < g.vexnum; j++){
    
    
			if(i != j){
    
    
				if(str == "UDN" || str == "DN")
					g.Edge[i][j] = INF;
				else g.Edge[i][j] = 0;
			}
			else g.Edge[i][j] = 0;
		}
	}
	if(str == "UDG") g.type = UDG;		//构建无向图
	else if(str == "DG")  g.type = DG;	//构建有向图
	else if(str == "UDN") g.type = UDN;	//构建无向网
	else if(str == "DN")  g.type = DN;	//构建有向网	
}

void graph_add_vertex(MGraph &g, string v){
    
    
	if(!graph_has_vertex(g, v)){
    
    
		assert(g.vexnum <= MaxVertexNum);
		g.Vex[g.vexnum++] = v;
	}
}
bool graph_has_vertex(MGraph &g, string v){
    
    
	for(int i = 0; i < g.vexnum; i++)
		if(g.Vex[i] == v) return true;
	return false;
}

void graph_add_edge(MGraph &g, string v1, string v2){
    
    
	if(!graph_has_edge(g, v1, v2)){
    
    
		int start = vertex_index(g, v1);
		int end = vertex_index(g, v2);
		if(g.type == UDG){
    
    
			g.Edge[start][end] = 1;
			g.Edge[end][start] = 1;
		}else if(g.type == DG){
    
    
			g.Edge[start][end] = 1;
		}else if(g.type == UDN){
    
    
			cout << "请输入边的权值：";
			cin >> g.Edge[start][end];
			g.Edge[end][start] = g.Edge[start][end]; 
		}else if(g.type == DN){
    
    
			cout << "请输入边的权值：";
			cin >> g.Edge[start][end];
		}
	}
}

bool graph_has_edge(MGraph g, string v1, string v2){
    
    
	int start = vertex_index(g, v1);
	int end = vertex_index(g, v2);
	assert(start != -1 && end != -1);
	if(g.type == UDG || g.type == UDN){
    
    
		//如果是无向图或无向网 
		if(g.Edge[start][end] != 0 && g.Edge[start][end] != INF) return true;
		if(g.Edge[end][start] != 0 && g.Edge[end][start] != INF) return true;	
	}else if(g.type == DG || g.type == DN){
    
    
		//如果是有向图或有向网 
		if(g.Edge[start][end] != 0 && g.Edge[start][end] != INF) return true;
	}
	return false;
}

int vertex_index(MGraph g, string v){
    
    
	for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){
    
    
		if(g.Vex[i] == v) return i;
	}
	return -1;
}

void show_graph(MGraph g) {
    
    
	cout << "图的邻接矩阵如下所示：" << endl;
    for(int i = 0; i < g.vexnum; i++){
    
    
        //cout << g.Vex[i] << " ";
        for(int j = 0; j < g.vexnum; j++){
    
    
            if(g.Edge[i][j] == INF)
                cout << "∞" << " ";
            else
            	cout << g.Edge[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

void test(MGraph &g){
    
    
	int vexNum = 0, edgeNum = 0;
	string str, str1, str2;
	
	cout << "请输入图的顶点的数量：" << endl;
	cin >> vexNum;
	for(int i = 0; i < vexNum; i++){
    
    
		cout << "输入顶点" << i+1 << "的信息："; 
		cin >> str;
		graph_add_vertex(g, str);
	}
	
	cout << "请输入图的边的数量：" << endl;
	cin >> edgeNum;
	for(int i = 0; i < edgeNum; i++){
    
    
		cout << "输入第" << i+1 << "条边的首尾顶点：";
		cin >> str1 >> str2;
		graph_add_edge(g, str1, str2);
	}
}

int main(){
    
    
	MGraph g;
	graph_create(g);
	test(g); 
	show_graph(g); 
	
	return 0;
}

当然，还可以根据需求，写一些个性化的函数来丰富图的功能。比如graph_destroy用来销毁图，graph_get_edge来获取边的权值，graph_edges_count计算与顶点v有关系的边的数量……

注意

在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点信息等均可省略)。
当邻接矩阵的元素仅表示相应边是否存在时，EdgeType可采用值为0和1的枚举类型。
无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可采用压缩存储。
邻接矩阵表示法的空间复杂度为 $O(n ^{2})$ ，其中n为图的顶点数 $\ |V|$ 。

邻接矩阵的特点

无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵（并且唯一)。因此，在实际存储邻接矩阵时只需存储上(或下)三角矩阵的元素。
对于无向图，邻接矩阵的第 $\ i$ 行（或第 $\ i$ 列）非零元素（或非 $\ 0$ 元素）的个数正好是顶点 $\ i$ 的度 $TD(v _{i})$ 。
对于有向图，邻接矩阵的第 $\ i$ 行非零元素(或非 $\ ∞$ 元素)的个数正好是顶点 $\ i$ 的出度 $OD(v _{i})$ ；第 $\ i$ 列非零元素（或非 $\ ∞$ 元素）的个数正好是顶点i的入度 $ID(v _{i})$ 。
用邻接矩阵存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连。但是，要确定图中有多少条边，则必须按行、按列对每个元素进行检测，所花费的时间代价很大。
稠密图适合使用邻接矩阵的存储表示。
设图 $\ G$ 的邻接矩阵为 $\ A$ ， $A ^{n}$ 的元素 $A ^{n}[i][j]$ 等于由顶点 $\ i$ 到顶点 $\ j$ 的长度为 $\ n$ 的路径的数目。该结论了解即可，证明方法请参考离散数学教材。

二、邻接表

1.概念

当一个图为稀疏图时，使用邻接矩阵法显然要浪费大量的存储空间，而图的邻接表法结合了顺序存储和链式存储方法，大大减少了这种不必要的浪费。

所谓邻接表，是指对图 $\ G$ 中的每个顶点 $\ v$ 建立一个单链表，第 $\ i$ 个单链表中的结点表示依附于顶点 $\ v$ 的边（对于有向图则是以顶点 $\ v$ 为尾的弧)，这个单链表就称为顶点 $\ v$ 的边表（对于有向图则称为出边表)。
边表的头指针和顶点的数据信息采用顺序存储（称为顶点表)，所以在邻接表中存在两种结点：顶点表结点和边表结点。

2.图像示例

顶点表结点的数据结构如下图所示：
边表结点的数据结构如下图所示：

顶点表结点由顶点域(data）和指向第一条邻接边的指针（firstarc）构成，边表结点（邻接表）由邻接点域(adjvex）和指向下一条邻接边的指针域(nextarc)构成。
无向图和它的邻接表可以表示为下图形式：
有向图和它的邻接表可以表示为下图形式：

3.代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
//#include<math.h>

#define string char*
#define VertexType string
#define MAXSIZE 100 
#define REALLOCSIZE 50
#define INF 0xfffffff

//边表结点
typedef struct ArcNode{
    
    
	int adjvex;		//某条边指向的那个顶点的位置
	ArcNode * next;	//指向下一条弧的指针 
	weight w;		//权值
}ArcNode; 
//顶点表结点
typedef struct VNode{
    
    
	VertexType data;	//顶点信息
	ArcNode * first;	//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode;
typedef struct GraphRepr{
    
    
	VNode * node;		//邻接表
	int vexnum, arcnum;	//图的顶点数和弧数 
}Graph, *graph; 

graph graph_create(void) {
    
    
	//初始化一个图的指针 
	graph g = (graph)malloc(sizeof(Graph));
	if(g){
    
    
		//初始化邻接表 
		g->node = (VNode*)malloc(MAXSIZE*sizeof(VNode));
		if(!g->node) {
    
    
			printf("error\n"); 
			return NULL;
		}
		g->arcnum = g->vexnum = 0;
		return g;
	}
	return NULL;
}

void graph_destroy(graph g) {
    
    
    ArcNode *pre, *p;	//定义临时指针 
    char * temp;
	for(int i = 0; i < g->vexnum;i++){
    
    
		pre = g->node[i].first;	//指向边表
		temp = g->node[i].data;
		free(temp);
		//等价于链表的销毁
		if(pre != NULL)	{
    
    
			p = pre->next;
			while(p != NULL) {
    
    
				free(pre);
				pre = p;
				p = pre->next;
			}
			free(pre);
		}
	}
	free(g);
    return;
}

//判断字符串是否相等 
bool is_equal(string s1, string s2){
    
    
	//首先判断长度 
	int len_s1 = strlen(s1);
	int len_s2 = strlen(s2);	
	if(len_s1 != len_s2) return false;
	//长度相等后，判断每一个位置的字符 
	for(int i = 0; i < len_s1; i++)
		if(s1[i] != s2[i]) return false;
	return true;
}

void graph_add_vertex(graph g, string v) {
    
    	
	if(!graph_has_vertex(g, v)){
    
    
		int vlen = strlen(v);
		//判断是否超出邻接表的大小限制 
		if(g->vexnum+1 > MAXSIZE){
    
    
			//重新申请一片空间 
			VNode * temp = (VNode*)malloc((g->vexnum+REALLOCSIZE)*sizeof(VNode));
			//将原邻接表的信息复制到新的内存空间 
			for(int i = 0; i < g->vexnum; i++){
    
    
				temp[i].data = g->node[i].data;
				temp[i].first = g->node[i].first;
			} 
			g->node = temp;	//新的指针赋给邻接表 
		}
		g->node[g->vexnum].data = (char*)malloc(sizeof(char)*vlen+1);
//		printf("%p\t", strcpy(g->node[g->vexnum].data, v));
//		printf("%p\t", g->node[g->vexnum].data);
//		printf("%p\n", v);
//		int i;
//		for(i = 0; i < vlen; i++)
//			g->node[g->vexnum].data[i] = v[i];
//		v[i] = '\0'; 
		g->node[g->vexnum].first = NULL;		//初始化顶点的依附表结点为空 
		g->vexnum++;
	}	
    return;
}

bool graph_has_vertex(graph g, string v) {
    
    
    for(int i = 0; i < g->vexnum; i++)
		if(is_equal(g->node[i].data, v))	//如果能够找到一个顶点的信息为v 
			return true;
	return false;
}

size_t graph_vertices_count(graph g) {
    
    
    return g->vexnum;
}

int get_index(graph g, string v){
    
    
	for(int i = 0; i < g->vexnum; i++)
		if(is_equal(g->node[i].data, v)) return i+1;	//如果能找到这个结点，返回结点位置
	return -1;	//否则返回-1 
}

void graph_add_edge(graph g, string v1, string v2, weight w){
    
        
	//判断是否存在这两个顶点,如果不存在，添加这些顶点 
	if(!graph_has_vertex(g, v1)) graph_add_vertex(g, v1);
	if(!graph_has_vertex(g, v2)) graph_add_vertex(g, v2); 
	int start = get_index(g, v1);
	int end = get_index(g, v2); 
	//判断是否存在这条边 
	if(!graph_has_edge(g, v1, v2)){
    
    	
		//初始化一个边表结点 
		ArcNode * Next = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
		Next->adjvex = end-1;
		Next->next = NULL;
		Next->w = w;
		//如果start依附的边为空	
		if(g->node[start-1].first == NULL) g->node[start-1].first = Next;
		else{
    
    
			ArcNode * temp = g->node[start-1].first;//临时表结点
			while(temp->next) temp = temp->next;	//找到表结点中start-1这个结点的链表的最后一个顶点
			temp->next = Next;						//在该链表的尾部插入这个边表结点 
		}	
		g->arcnum++;	//边的数量++	
	}
    return;
}

bool graph_has_edge(graph g, string v1, string v2) {
    
    
    int start = get_index(g, v1);
	int end = get_index(g, v2);
	//如果边表为空，则不存在边 
	if(g->node[start-1].first == NULL) return false;
	
	ArcNode * temp = g->node[start-1].first;	//临时表结点
	while(temp) {
    
    
		if(temp->adjvex == end-1) return true;	//如果存在一条v1指向v2的边 
		temp = temp->next;						//指针后移 
	}	
    return false;
}

weight graph_get_edge(graph g, string v1, string v2) {
    
    
    double w;
    //如果不存在这条边，返回0 
    if(!graph_has_edge(g, v1, v2)) return 0.0;
    int start = get_index(g, v1);
	int end = get_index(g, v2);
	
	ArcNode * temp = g->node[start-1].first;
	while(temp){
    
    
		//找到v1指向v2的边，并返回weight 
		if(temp->adjvex == end-1) return temp->w;
		temp = temp->next;
	} 
	return 0.0;
}

void graph_show(graph g, FILE *output) {
    
    
	//先打印每一个顶点信息 
	for(int i = 0; i < g->vexnum; i++){
    
    
		fprintf(output, "%s\n", g->node[i].data);
//		printf("%s\n", g->node[i].data);
	}
	//然后打印每一条边 
    for(int i = 0; i < g->vexnum; i++){
    
        	
        ArcNode * Next = g->node[i].first;
        while (Next) {
    
    
        	fprintf(output, "%s %s %10.2lf\n", g->node[i].data, g->node[Next->adjvex].data, Next->w);
//        	printf("%s %s %10.2lf\n", g->node[i].data, g->node[Next->adjvex].data, Next->w);
            Next = Next->next;
        }        
    }
    return;
}

邻接表的特点

若 $\ G$ 为无向图，则所需的存储空间为 $\ O(|V|+ 2|E|)$ ;若 $\ G$ 为有向图，则所需的存储空间为 $\ O(|V|+ |E|)$ 。前者的倍数 $\ 2$ 是由于无向图中，每条边在邻接表中出现了两次。
对于稀疏图，采用邻接表表示将极大地节省存储空间。
在邻接表中，给定一顶点，能很容易地找出它的所有邻边，因为只需要读取它的邻接表。在邻接矩阵中，相同的操作则需要扫描一行，花费的时间为 $\ O(n)$ 。
但是，若要确定给定的两个顶点间是否存在边，则在邻接矩阵中可以立刻查到，而在邻接表中则需要在相应结点对应的边表中查找另一结点，效率较低。
在有向图的邻接表表示中，求一个给定顶点的出度只需计算其邻接表中的结点个数；但求其顶点的入度则需要遍历全部的邻接表。因此，也有人采用逆邻接表的存储方式来加速求解给定顶点的入度。当然，这实际上与邻接表存储方式是类似的。
图的邻接表表示并不唯一，因为在每个顶点对应的单链表中，各边结点的链接次序可以是任意的，它取决于建立邻接表的算法及边的输入次序。

图的存储及基本操作总结（邻接矩阵、邻接表）及C/C++代码实现

文章目录

前言

一、邻接矩阵

1.概念

2.图像示例

3. 代码实现

注意

邻接矩阵的特点

二、邻接表

1.概念

2.图像示例

3.代码实现

邻接表的特点

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