图像对比对和亮度的调节
上一节认识了图像颜色模型HSI，最后提到了对比度和亮度。这两个参数对于图像质量评价来说是最直观且重要的一组参考变量。譬如在拍摄到一些不太理想的状态的图片，那么为了得到一幅更高质量的图像，就需要一些图像处理的方法，对这个图像进行调节以得到更好的对比度，得到更好的一个亮度水平，从而提高这个图像的质量。
首先如何定义图像对比度：它表示这个图像的动态范围，即HSI模型当中的强度I。在全图像范围内，用最大的强度值和最小的强度值，两者直接确定一个范围，即当前图像的对比度范围，范围越大对比度越好。
那这一节就讲讲图像灰度的变换算法。
在实际工作当中，我们希望有一个精准的调节，譬如说希望把对比度提高20%，亮度降低20%，这样的一个精准调节是如何实现了，如上图分成5个步骤，已经说明的很详细了。
最后补充一下，我们时常调整对比度和亮度的时候，亮度是直接加一个系数，并没有考虑到当前对比度的，这样是其实是会影响到对当前像素的对比度和亮度精准把控。以上公式就不会影响了，做到了对比度和亮度的精准调节。
灰度变换应用1——对数变换
对数变换的一个变换过程，用以上公式来表达：r为输入图像灰度，再对进行一个log运算的一个变化。log变换有什么作用：有时候输入原图的动态范围太大，已经超出某些显示设备的允许的动态范围（如HDR），如何直接用原图进行显示，那么图像里面的一些高光细节就会显示不出来，造成信息丢失。
解决方法就是对这个原图的高光部分进行一个灰度压缩，比如说我们就用这里的对数变换。
譬如上图a是一幅0~1.5*10^6的傅里叶频谱图的反转变换(黑白反转)，这个动态范围非常大，在这个8位深的显示设备上，它的这个中心点特别亮，次低频细节看不清存在丢失信息的现象。图b是使用了对数变换处理过的一个结果，明显细节信息丰富了，能够更加清晰地显示出来。
总结：对数变换，尽可能保留低光部分，把高光部分进行灰度等级压缩。
灰度变换应用2——伽马变换
介绍另外一个更常用的变换，伽马变换。f是原图的(灰度)输入，然后进行（γ）伽马次方的运算。其中右边是伽马取不同值，输入输出的关系曲线图。由图分析可知，当伽马γ < 1的时候，较暗的输入会迅速爬升，但不会超出1，较亮的输入会比较平滑的回归到1。这个意味着把暗区进行了拉伸的变换，把亮区进行一个压缩，那么原来图像暗的区域会变亮。当伽马γ > 1的时候效果就相反，把暗区进行了压缩的变换，把亮区进行一个拉伸。
以上看两个实例，就是一个很好的伽马变换说明。第一个是医学镜像图，很明显的看出使用伽马小于1的变换进行处理后，信息量得到提升。而第二个是飞行仪在空中的抓拍，由于日光的照射，输入图像整体偏亮，进行伽马大于1后的变换处理，路面信息得到明显的增强效果。所以伽马变换的取值，要根据输入图像的情况区别处理。
灰度变换应用3——灰度直方图、均衡化
前面介绍的几种灰度变换算法，它都是需要人为的定义一些辅助参数进行调节，而接下来介绍的直方图均衡化算法，它是一个不需要辅助参数，可以说是一个全自助动的图像处理方法。如何理解？也就是说处理效果，和原输入有莫大的关系。
首先来对直方图做一个定义：对于范围再【0，L-1】的灰度图像，（这里的L就是8bit显示位深的表示最大范围256，灰度等级就是0~255）对于这样一副数字图像，对它的灰度等级进行一个数量统计。譬如在像素总个数为n的数字图像中，灰度等级在r(k)=255的像素个数共有n(k)个。利用n(k) / n就可以得出灰度等级r(k)在这副数字图像中的灰度密度函数p，统计所有灰度等级的密度就可以绘制出直方图。直白的说灰度直方图就是数字图像灰度的密度分布函数。
有了直方图的定义，再观察右边的4张图像和对应的灰度直方图，图4效果是最符合人类观察的，它对应的直方图分布是最均匀的，从4张图像的直方图对比可以总结，如果直方图处于均衡的状态，那么对应的数字图像具有更好的对比度。那么可以从修改它的直方图这个角度入手，把直方图均衡化，从而达到图像增强的目的。
那么希望找到一个变换，记s=T(r)，r为输入图像的灰度值，s是变换以后的灰度值。变换后的图像灰度直方图（相比原输入图像的直方图）是均匀的。而且还需要满足以上两个条件。
条件1、s在区间0≤r≤1中大于0且单调递增。此条件保证了原图各灰度等级在变换后仍保持从黑到白的排列顺序。
条件2、当0≤r≤1时，0≤s≤1。保证变换前后灰度值的动态范围一致性。
设变换前图像的密度函数为p（r），变换后的密度函数为p'（s）,灰度变换函数为s=T（r）。
由概率论可知，原概率密度函数 对变换前原图像的灰度等级进行统计 和 变换后概率密度函数 对变换后图像的灰度等级进行统计，两者是相等的（图像像素个数相等）即：
p(r) * deta(r) = p’(s) * deta(s)
而经过变换的图像灰度密度函数p'(s)是一个均匀分布，均匀分布的一个特性就是：
p = 1/(b-a)，[a,b]
结合两个公式，也就是转换成：
deta(s) = p(r) * deta(r) 在[0,1]区间
对两边同时积分
T(r) = s = ∫ p(t) dt 在[0, r]范围内
从这一步我们看到转换函数T(r)就是对原来的概率密度函数，做一个累积分布函数的计算。
而对于离散的数字图像，我们是无法做积分的，可以使用以上的累加代替积分。如何理解这个公式，S(k)等于变换后的灰度值，等于原灰度等级的概率进行累加计算，等于当前所有灰度等级的范围内，概率密度的积分。 下面看一个例子
这里假设一幅64*64的数字图像，位深为3，共有8个灰度等级，原灰度分布如左图统计所示。有了这个统计可以推出原来的直方图，根据介绍的直方图均衡化公式，原输入灰度r1变换后的灰度值s1，当前输入灰度等级是1，那么对于当前的灰度等级，s1等于r0到r1的概率密度的积分，等于r0到r1灰度等级概率的累加计算，等于7*（0.19+0.25）=3.08取整为3；其他灰度等级的计算如此类推。
介绍了直方图均衡化以后，还要说说它的具体应用——直方图的匹配，也叫直方图规定化。比如说现在有两幅输入图像1和2，直方图1我是满意的，希望图像2能有图像1这样的或者相似的直方图，那就相当于要把这个直方图做一个匹配或者说做一个规范映射。
此时我们可以先把直方图1进行均衡化后，得到一个直方图1到均匀直方图的映射关系，再把直方图2也作均衡化处理，此时就可以利用均匀的直方图作一个桥梁，链接直方图1和2，达到一个映射的关系。