计算博弈题目分析

精炼贝叶斯相关均衡概念的不完全信息动态博弈的分析

就业市场信号博弈

求职者和雇主，$\theta$为求职者的私人类型：
$\theta =L$表示求职者的劳动生产率为$L$
$\theta =H$表示求职者的劳动生产率为$H$
$H>L$，$\theta$的概率分布为$p\theta =L=q$,$p\theta =H=1-q$是共同知识
由于劳动力市场的竞争性，使得雇主雇佣工人的期望利润为0。在完全信息下雇主以$w=\theta$给工人发工资，是两个局中人的帕累托最优。当$\theta$是求职者的私人类型时，求职者占有利信息优势，雇主只能以$w=qL+(1-q)H=H+(L-H)q$雇佣工人，这时$\theta =H$的工人就会退出市场。这就是信息不对称造成的逆向选择问题。
为了解决这一问题，求职者以受教育程度$e\in (0，\infty )$作为信号发给雇主，以使雇主可以区别两类求职者。
受教育程度e需要付出成本$C(\theta ,e)$，$C(H,e)>C(L,e)$，设$C(\theta ,e)=\frac{e}{\theta }$
考虑分级均衡
$$\begin{array}{r}\\ e(\theta )=\{\begin{array}{cc}{e}_1<e^{\ast }& \theta =L\\ e_2\ge e^{\ast }& \theta =H\end{array}\end{array}$$
求职者会根据利益最大化选择分离均衡
$$\begin{array}{r}\\ e\left(\theta \right)=\{\begin{array}{ll}0& \theta =L\\ e^{\ast }& \theta =H\end{array}\end{array}$$
所以雇主的推断为
$$\begin{gathered} p(\theta =L|e=0)=1 \\ p(\theta =H|e=e^{\ast })=1 \end{gathered}$$
相应工资水平为
$$w(e)=\{\begin{array}{lllc}L& & & e=0\\ H& & & e=e^{\ast }\end{array}$$
$\theta =L$时，$L\ge H-e^{\ast }/L$，
$\theta =H$时，$L\le H-e^{\ast }/H$，
所以$e^{\ast }$的取值范围为
$$e^{\ast }\in [L(H-L),H(H-L)]$$

考虑混合均衡$e(\theta )\equiv e^{\ast }$

雇主的推断为
$$\begin{gathered} p(\theta =L|e<e^{\ast })=1 \\ p(\theta =L|e\ge e^{\ast })=q \\ p(\theta =H|e\ge e^{\ast })=1-q \end{gathered}$$
相应工资水平为$$w(e)=\{\begin{array}{lllc}L& & & e<e^{\ast }\\ qL+(1-q)H& & & e\ge e^{\ast }\end{array}$$
$\theta =L$时，$L\ge H+(L-H)q-e^{\ast }/L$；
$\theta =H时，L\le H+(L-H)q-e^{\ast }/H$；
所以$e^{\ast }$的取值范围应为$$e^{\ast }\in [L(H-L)(1-q),H(H-L)(1-q)]$$

囚徒困境（prisoner’s dilemma）

有限次囚徒困境中，假设囚徒1有两种类型：理性和非理性，这是囚徒1的私人类型。两种类型的概率分布为两个人的共同知识。
$P(理性)=1-p$，$P(非理性)=p$
囚徒2是理性的，理性的囚徒可以选择任何策略，而非理性的囚徒仅选择“针锋相对”的策略，即第一阶段选择合作而在$t>1$阶段选择与对手在$t-1$阶段相同的行动。

1. 自然首先选择囚徒 1 的类型 囚徒 A 知道自己的类型 囚徒 B 只知道1属于理性的概率为1-p，非理性的概率为p；
2. 两个囚徒进行第一阶段的博弈；
3. 观测到第一阶段博弈结果后，进行第二阶段博弈，观测到第二阶段博弈结果之后 进行第三阶段博弈,如此重复直到结束。

支付矩阵为$a>1$,$b<0$,$a+b<2$

	D	C
D	(1,1)	(b,1)
C	(a,b)	(0,0)

	T = 1	T = 2
非理性囚徒1	D	X
理性囚徒1	C	C
囚徒2	X	C

X=D，囚徒2的期望支付为$p(1+a)+(1-p)b$;
X=C，囚徒2的期望支付为$ap$。
所以，囚徒2第一阶段选择D的充要条件是$p(1+a)+(1-p)b>ap$
理性的囚徒1和非理性的囚徒1都没有动机违反以上策略。
囚徒2的期望支付为$1+p+(1-p)b+ap$
当$1+p+(1-p)b+ap>a$且$1+p+(1-p)b+ap>a+b+ap$时囚徒2没有动机背叛。

	T = 1	T = 2	T = 3
非理性囚徒1	D	D	D
理性囚徒1	D	C	C
囚徒2	D	D	C

当博弈重复三次时，C不一定是理性囚徒1在第一阶段的最优选择，因为尽管选择C在第一阶段得到最大收益（如果囚徒2选择D），但暴露出来1是理性的，囚徒2在第二阶段就不会选择D。

对于T期重复的囚徒困境博弈，如果阶段博弈支付矩阵中元素$a$,$b$以及非理性囚徒1的概率$p$满足$p(1+a)+(1-p)b>ap$, $1+p+(1-p)b+ap>a$, $1+p+(1-p)b+ap>a+b+ap$，则对于所有$T>3$都存在以下合作均衡。

	t = T - 1	t = T
非理性囚徒1	D	X
理性囚徒1	C	C
囚徒2	X	C

性别博弈（Battle of the sexes）

相关均衡（Correlated Equilibria, CE）以及 粗相关均衡（Coarse Correlated Equilibria, CCE）的分析

	球赛Football	电影Movie
球赛Football	(2,1)	(0,0)
电影Movie	(0,0)	(1,2)

  这个博弈有三个纳什均衡:$(M,M)$，$(F,F)$，$(2/3F+1/3M,1/3F+2/3M)$。其中第三个均衡为混合策略均衡，男生和女生分别以$2/3$的概率选择自己喜欢的行动。
  接下来分析相关均衡的概念。
  首先，每个相关均衡都是一个在策略组合的集合 { F , M } × { F , M } \{F,M\}×\{F,M\} { F,M}×{ F,M} 上的概率分布$p$，$p$构成相关均衡的条件是，在按照p随机抽取行动组合推荐给参与人时，每个参与人在接收到行动推荐后，给定根据$p$计算出的对方收到的行动推荐的条件概率并假定对方会服从，那么他的最优选择就是服从推荐。

1. 参与人1在收到行动推荐Football时，选择Football是最优（即好过选择Movie）。给定条件概率，我们可以计算出F和M分别带来的收益，得到不等式
   $$1F:2\frac{a}{a+b}+0\frac{b}{a+b}\ge 0\frac{a}{a+b}+1\frac{b}{a+b}$$
2. 同理，在1收到推荐Movie和2分别收到两个行动推荐时，服从推荐都需要是最优选择，于是如下三个不等式需要满足
   $$\begin{gathered} 1B:0c+1d\ge 2c+0d \\ 2F:1a+0c\ge 0a+2c \\ 2B:0b+2d\ge 1b+0d \end{gathered}$$
   整理后，得到
   $$\begin{gathered} a+b+c+d=1,a,b,c,d\ge 0 \\ a,d\ge 2c,a,d\ge b/2 \end{gathered}$$
     所有满足以上不等式组的$a,b,c,d$所定义的概率分布$p$都是性别博弈的相关均衡。由于以上不等式的解的集合是一个多面体（准确地说，是有五个顶点的六面体）和它的内部，相关均衡的集合自然就是一个凸集。并且该凸集包含纳什均衡的凸包。
     相关均衡$(a,b,c,d)=(1/2,0,0,1/2)$以一半概率选择$(M,M)$一半概率选择$(F,F)$，带来的期望支付是$(3/2,3/2)$ 是三个纳什均衡都达不到的。而相关均衡$(a,b,c,d)=(1/4,1/2,0,1/4),(2/5,0,1/5,2/5)$则不在三个纳什均衡构成的凸包中。