2018.6清北学堂day2下午笔记（MR）(CRT)(数论分块）

Miller Rabin

直接去看Miller-Rabin笔记吧QwQ

中国剩余定理

中国剩余定理常用来求解同余方程组，形如

$$x \equiv a_i \pmod m_i$$
的方程组

其中，我们定义

$$M=\prod m_i$$
然后令 $$M_i = \frac{M}{m_i}$$
定义 $$t_i为M_i 在 mod\ m_i意义下的逆元$$

则最终的解就是

$$ans=\sum_i{M_it_ia_i}$$

然后CRT拓展的话…

直接看CRT的学习笔记吧

数论分块

求

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{n}{i}下取整$$

我们考虑对于$\frac{n}{i}下取整$的取值一共有$\sqrt n$ 而 每一个取值对应的区间又是连续的

所以，我们考虑对于每一种取值x，就可以枚举左边界，则右边界为$n/(n/l)$
对应的下取整的值就是$n/l$

for (int i=1,j;j<=n;i=j+1)
{
    j=(n/(n/l));
    ans+=(j-i+1）*（n/l）;
}

至于这个j的求法

这样解决就可以

一道例题：

bzoj1257

余数求和

给定一个n一个k，求

$$\sum_{i=1}^n k \ mod\ i$$

其中$n,k \le 1000000000$

进入函数部分

欧拉函数$\phi(i)$表示1`i中有几个与$i$互质的数

考虑如何计算$\phi(i)$
$\phi(i)$是积性函数，可以用线性筛求

void primee(int n)
{
    check[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!check[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if (i*prime[j]>n) break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) 
            {
              phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];  
              break;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)
            }
        }
    }
}

一个有趣的结论:

$$\sum_{d|n} \phi(d)\ =\ n$$

欧拉定理：
设n为正整数，a为与n互素的整数则

$$a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$$

莫比乌斯函数

$$\mu(d)= \left\{\begin{array}{ccc} 1,&n=1\\ (-1)^k,&n=p_1p_2\cdots p_k,p_i为互异素数\\ 0,&otherwise \end{array}\right.$$

所以，当n有平方因子的时候，$\mu(n)=0$
因为莫比乌斯函数是积性函数，所以可以线性筛

void primee(int n)
{
    check[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!check[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if (i*prime[j]>n) break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) 
            {
              phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
              mu[k]=0;  
              break;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                mu[k]=-mu[i];
            }
        }
    }
}

QwQ中间讲了一些 直接去看这部分的学习笔记吧

好像wei la
还是直接看莫比乌斯反演的学习笔记吧

然后这里引入数论8题：
…..