HMM——求观测序列的概率

 给定模型 以观测序列计算出现的概率

1.暴力求解

        要求给定模型下观测序列出现的概率，观测状态由隐藏状态生成。故如果我们能把所有的隐藏状态序列都给列出来，再结合生成观测状态概率 (B) 即可求得观测序列出现概率：

     

当前状态只和前一状态有关

        : 在给定模型下，一个隐藏状态序列出现的概率，则可由初始状态 (π) 、隐藏状态转移概率 (A)  即可求得：

  

某个观测只和生成他的状态有关

        : 对于固定的隐藏序列及模型，结合生成观测状态概率 (B) 即可求得:

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        综上所述：

 

        复杂度分析：假设状态数为 N 个，观测状态序列长为 T，则则共有种隐藏状态序列，每种序列都需要计算相应概率，故 。

2.前向算法

        给定 t 时刻的隐藏状态为 i ，观测序列为 的概率叫做前向概率

        

         当 时，，此式子表示在最后一个时刻，观测序列为且最后一个隐藏状态位于 i 号上时的概率。

        假设状态数为 N ，那么:

        当前状态只和前一状态有关，故可由前一时刻的前向概率递推获得，这个看起来就是一个动态规划的问题了。

        在第一个时刻：

        表示在第一个时刻，观测序列为  且  的前向概率。

        现在已知第 t 时刻，状态为 j 的前向概率为，则第 t + 1 时刻，状态为 i 的前向概率为：

        

        有第一时刻的前向概率，根据 t 时刻到 t + 1 时刻的递推公式即可求得，从而得到：

        

        计算复杂度分析：每一个时刻有 N 种状态，每种状态可以由前一时刻的 N 中状态求得，一共有 T 个时刻，故为。