2018 .5.23. T3 Word

Word

【题目描述】

有一个星球要创造新的单词，单词有一些条件：
1. 字母集有p个元音和q个辅音，单词由字母构成
2. 每个单词最多有n个元音和n个辅音(同一元音或辅音可重复使用)
3. 每个单词中元音总是出现在所有辅音之前，可以没有元音或没有辅音
4. 每个单词至少有一个字母
5. 可以在字母上标记重音。元音中最多标记一个，辅音中也最多标记一
个，一个单词中最多标记两个字母为重音
6. 如果两个单词字母、字母顺序或者重音不同就认为这两个单词不同。
他们想要知道一共能创造多少不同的单词，由于答案可能很大，所以只要
输出答案mod m后的值。

【输入格式】

输入文件word.in 包含4 个正整数p,q, n, m

【输出格式】

输出文件word.out 包含一个非负整数表示能创造出的新单词数mod m
后的值。

【样例输入1】

1 1 1 9

【样例输出1】

8

【样例输入2】

2 3 2 1000

【样例输出2】

577
【样例输入3】
1 1 1000000000 1000000000

【样例输出3】

0

【数据规模】

对于30%的数据，p, q, n ≤ 7
对于60%的数据，n ≤ 100000
对于100%的数据，p,q, n, m ≤ 10^9

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先讲讲60%
此题元音辅音并没什么联系，所以可以分开来算，最后统计结果时合并，减去长度都为0的情况即可，
对元音来说，长度为i时，$f[i]=(i+1)*n^i$，每个位置可以p个数，共$p^i$,加重音还多i 中方案数
$ans=1*p^0+2*p^1+……+(n+1)*p^n$
此复杂度显然为$O(n)$

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100% 矩阵快速幂优化
第一次写矩阵，所以我只会暴力理解，
初始矩阵S是刚开始的状态，操作矩阵T是一种运算,经过一次矩乘将会到达下一种状态
$ANS=S*T^n$
看看如何构造：
将上面式子分解，得到
$ans=1+p*(2+p*(……p*(n+p*(n+1)))$
显然矩阵初始值为n+1

$$S=\begin{bmatrix} n+1 \\ \end{bmatrix}$$
要乘上 p
$$T=\begin{bmatrix} p\\ \end{bmatrix}$$
还要加上n,必须加一维
$$S=\begin{bmatrix} n+1 & n\\ \end{bmatrix}$$
$$T=\begin{bmatrix} p\\ 1\\ \end{bmatrix}$$
发现n是递减的，所以再加一维，第三维使 n 递减，辅助第二维
所以最终矩阵为
$$S=\begin{bmatrix} n+1 & n & 1\\ \end{bmatrix}$$
$$T=\begin{bmatrix} p & 0 &0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}$$
之前说过矩乘可以理解为运算，并满足结合律，所以可以快速幂加速
第一次讲矩阵可能不太好，见谅

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define int long long
struct matrix {
    int a[3][3];int x,y;
};
int p,q,n,P=1e9+7;
matrix operator * (matrix x,matrix y) {
    matrix z;
    memset(z.a,0,sizeof z.a);
    for (int i=0;i<x.x;i++)
        for (int j=0;j<y.y;j++) {
            for (int k=0;k<y.y;k++)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%P)%P;
        }
    z.x=x.x;z.y=y.y;
    return z;
}
int ksm(int x,int ln) {
    matrix s,t;
    memset(s.a,0,sizeof s.a);
    s.a[0][0]=n+1;s.a[0][1]=n;s.a[0][2]=1;s.x=1;s.y=3;
    memset(t.a,0,sizeof t.a);
    t.a[0][0]=x;t.a[1][0]=1;t.a[1][1]=1;t.a[2][1]=-1;t.a[2][2]=1;t.x=3;t.y=3;
    for (;ln;ln>>=1,t=t*t) if (ln&1) s=s*t;
    return s.a[0][0];
}
signed main() {
    freopen("word.in","r",stdin);
    freopen("word.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&n,&P);
    printf("%lld",(ksm(p,n)*ksm(q,n)%P-1+P)%P);
}