二分查找
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1. 二分法第一种写法
第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。
区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：
- while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
- if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1
2. 二分法第二种写法
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。
有如下两点：
- while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
- if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]
3.左移右移运算符用法
-
1.左移 <<
取两个数字，左移第一个操作数的位，第二个操作数决定要移动的位置。换句话说，左移动一个整数 x和一个整数 y ( x < < y ) y等于 x 乘以 2y
-
2.右移 >>
取两个数字，向右移动第一个操作数的位，第二个操作数决定移动的位置。同样地，右平移 (x>>y) 等于x除以 2y
4.二分查找相关例题
704.二分查找
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
1.[left,right]
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while(left <= right){
int middle = (left + right) / 2;
if(nums[middle] == target){
return middle;
}else if(nums[middle] > target){
right = middle - 1;
}else left = middle + 1;
}
return -1;
}
};
2.[left,right)
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size();
while(left < right){
int middle = (left + right) / 2;
if(nums[middle] == target){
return middle;
}else if(nums[middle] > target){
right = middle; //第二中方法的不同之处
}else left = middle + 1;
}
return -1;
}
};
35.搜索插入位置
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0,right = nums.size() - 1;
while(left <= right){
int mid = (left + right) / 2;
if(nums[mid] == target){
return mid;
}else if(nums[mid] > target){
right = mid - 1;
}else left = mid + 1;
}
return left;
}
};
34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
1.自己思路
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0,right = nums.size() - 1;
while(left <= right){
int mid = (left + right) / 2;
int leftIndex = mid - 1,rightIndex = mid + 1;
if(nums[mid] == target){
if(leftIndex >= 0){
//防止左侧数组下标小于0
while(nums[leftIndex] == target){
leftIndex--;
if(leftIndex < 0) break;//防止左侧数组下标小于0
}
}
if(rightIndex < nums.size()){
//防止右侧数组下标小于0
while(nums[rightIndex] == target){
rightIndex++;
if(rightIndex >= nums.size()) break;//防止右侧数组下标小于0
}
}
return {
leftIndex + 1,rightIndex - 1};
}
else if(nums[mid] > target){
right = mid - 1;
}
else left = mid + 1;
}
return {
-1,-1};
}
};
2.根据代码随想录，将左右边界分开写
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
int leftIndex = getLeftIndex(nums,target);
int rightIndex = getRightIndex(nums,target);
if(leftIndex == -10 || rightIndex == -10) return {
-1,-1};//情况1：空数组
if((rightIndex - leftIndex) > 1) return {
leftIndex + 1,rightIndex - 1};//情况2：找到下标
return {
-1,-1};//情况3：数组中没有目标值
}
//获得左下标
int getLeftIndex(vector<int>&nums,int target){
int left = 0,right = nums.size() - 1,leftIndexIn = -10;//不能等于-1，因为经过下面代码他的值可能是-1
while(left <= right){
int mid=(left + right) / 2;
if(nums[mid] >= target){
right = mid - 1;
leftIndexIn = right;
}
else{
left = mid + 1;
}
}
return leftIndexIn;
}
//获得右下标
int getRightIndex(vector<int>&nums,int target){
int left = 0,right = nums.size() - 1,rightIndexIn = -10;//不能等于-1，因为经过下面代码他的值可能是-1
while(left <= right){
int mid=(left + right) / 2;
if(nums[mid] <= target){
left = mid + 1;
rightIndexIn = left;
}
else{
right = mid - 1;
}
}
return rightIndexIn;
}
};
69. x 的平方根
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意： 不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
1.第一次想法
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int left = 0,right = x;
long long mid = -10;
while(left <= right){
mid = (right + left) / 2;
if(mid * mid > x){
right = mid - 1;
}
else{
left = mid +1;
if((mid + 1) * (mid + 1) > x){
return mid;
}
}
}
return {
};
}
};
2.第二次改进
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int left = 0,right = x,i=-10;
while(left <= right){
long long mid = (right + left) / 2;
if(mid * mid <= x){
i=mid;
left = mid +1;
}else{
right = mid - 1;
}
}
return i;
}
};
3.见解别人牛顿迭代法（暂时没搞懂公式转换）
367. 有效的完全平方数
给定一个 正整数 num ，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。
进阶：不要 使用任何内置的库函数，如 sqrt 。
class Solution {
public:
bool isPerfectSquare(int num) {
int left = 0,right = num;
while(left <= right){
long long mid = (left + right) / 2;
if(mid * mid == num){
return true;
}else if(mid * mid > num){
right = mid -1;
}else{
left = mid +1;
}
}
return false;
}
};