081200计算机科学与技术——301数学，知识点整理【更新中】

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函数

1. 定义
   如果对于每个数 $x\in D$，变量按照一定的法则总有一个确定的 $y$ 和它对应，则称 $x$ 是 $y$ 的函数，记为 $y=f(x)$，其中：
   1. $x$ 为自变量，$D$ 是定义域，是 $x$ 的取值范围，记作 $D_f$ 或 $D$
   2. $y$ 为因变量，$f(D)$ 是值域，是 $y$ 的取值范围，记作 $R_f$ 或 $f(D)$
2. 推理
   1. $x$ 对应的 $y$ 只能有一个，$y$ 对应的 $x$ 可以有多个
   2. 函数有三个要素（定义域、值域、对应法则），其中最关键的是定义域和对应法则，因为定义域和对应法则确定后，值域就确定了，定义域和对应法则决定了值域

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函数的有界性

1. 定义
   设 $X\subset D:$
   1. 若函数有上界，则
      $\forall x\in X,f(x)⩽M$
   2. 若函数有下界，则
      $\forall x\in X,f(x)⩾M$
   3. 若函数有界（既有上界又有下界 ），则
      $\forall x\in X,|f(x)|⩽M$
      即： $-M⩽f(x)⩽M$
   4. 若函数无界，则
      $\forall M>0,\exists x_0\in X,使|f(x_0)|>M$

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函数的单调性

1. 定义
   设区间 $I\subset D:$
   1. 若函数单调增，则：
      $\forall x_1,x_2\in I,当x_1<x_2时，恒有f(x_1)<f(x_2)$
   2. 若函数单调减，则：
      $\forall x_1,x_2\in I,当x_1<x_2时，恒有f(x_1)>f(x_2)$

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函数的奇偶性

1. 定义：
   设 $D$ 关于原点对称：

   1. 若函数为偶函数，则：
      $\forall x\in D,f(-x)=f(x)$
   2. 若函数为奇函数，则：
      $\forall x\in D,f(-x)=-f(x)$

2. 推理：

   1. 偶函数图形关于$y$轴对称
   2. 奇函数图形关于$x$轴对称，且若 $f(x)在x=0$ 处有定义，则 $f(0)=0$

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函数的周期性

1. 定义：
   若存在实数 $T>0$，对于任意 $x$，恒有 $f(x+T)=f(x)$ 则称 $y=f(x)$ 为周期函数，使得上式成立的最小正数 $T$ 称为最小正周期，简称为函数 $f(x)$ 的周期
2. 推理：周期函数不一定都有最小正周期，比如 $y=C$ （$C$是任意常数）

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取整函数

1. 定义
   $y=[x]$

2. 举例：
   $[3.2]=3$
   $[-3.2]=-4$

3. 推理：
   $x-1<[x]⩽x$

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反函数

1. 定义
   设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R_y$，若对任意 $y\in R_y$，有唯一确定的 $x\in D$，使得 $y=f(x)$，则记为 $x=f^{-1}(y)$ 称其未函数 $y=f(x)$ 的反函数。
2. 通俗解释
   $y$ 与 $x$ 的映射必须一一对应
3. 推理
   1. $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$
   2. 函数与反函数图像关于 $y=x$ 对称
4. 求一个函数的反函数方法（例如求 $y=x^3$ 的反函数）
   1. 反求一个函数： $y=x^3\Rightarrow x=y^{\frac{1}{3}}$
   2. 将自变量与因变量对调： $x=y^{\frac{1}{3}}$ 变成 $y=x^{\frac{1}{3}}$

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复合函数

1. 定义
   设 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$，$u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$ 值域为 $R_g$，若 $D_f\cap R_g\ne \varnothing$，则称函数 $y=f[g(x)]$ 为函数 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 的复合函数
2. 通俗解释
   内层函数的值域 与 外层函数的定义域 必须有交集
3. 推理：
   1. 复合后的定义域为 {   x ∣ x ∈ D g , g ( x ) ∈ D f   } \set{ x|x \in D_g, g(x) \in D_f } { x∣x∈Dg​,g(x)∈Df​}，即 $x$ 属于内层函数定义域 $D_g$ 且内层函数的值域 $g(x)$ 属于外层函数的定义域 $D_f$
   2. 复合后的定义域 最大为内层函数 $g(x)$ 的定义域
   3. $f(x)=g(x)+g(-x)$ 是偶函数（将 $x$ 带入 $-x$ 得到的结果 $=$ 原函数，说明函数关于 $y$ 轴对称，是偶函数）
   4. $f(x)=g(x)-g(-x)$ 是奇函数（将 $x$ 带入 $-x$ 得到的结果 $=-$ 原函数，说明函数关于原点轴对称，是奇函数）

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基本初等函数

1. 幂函数： $y=x^a,(a为实数)$
2. 指数函数： $y=a^x,(a>0,a\ne 1)$
3. 对数函数： $y=lo{g}_a^x,(a>0,a\ne 1)$
4. 三角函数： $y=sinx$ ; $y=cosx$ ; $y=tanx$ ; $y=cotx$
5. 反三角函数： $y=arcsinx$ ; $y=arccosx$ ; $y=arctanx$

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初等函数

1. 定义
   1. 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到的函数
   2. 能用一个解析式表示的函数

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数列的定义

数列就是一串有序的实数，是一种特殊的函数（整标函数），其自变量取正整数

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数列极限

1. 定义
   $\forall \epsilon >0,\exists N,当n>N时,有|x_n-a|<\epsilon$
   其中 $|x_n-a|<\epsilon$
   等于 $x_n\in U(a,\epsilon )$
   等于 $x_n$ 属于 $a$ 点的去心邻域
2. 通俗解释
   设数列有极限且极限为 $a$，则对于任意一个大于0的值 $\epsilon$，都存在一个对应的项数，使这个项数之后的数列值 $x_n$ 永远在 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ 之间
3. 应用
   用于证明数列 $x_n$ 是否以 $a$ 为极限，利用 $|x_n-a|<\epsilon$ 找出 $n$ 的最大值 $N$，$N$ 存在说明 $x_n$ 以 $a$ 为极限，否则不以 $a$ 为极限

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收敛数列的性质

1. 唯一性：收敛数列的极限是唯一的
2. 有界性：收敛数列必有界，有界数列不一定收敛（无界数列一定发散，发散数列不一定无界）
3. 保号性：
   1. 从极限值保数列项的值（不包含0）
      $若\underset{n\rightharpoonup \infty }{\lim }{x}_n=a，且a>0(或a<0)，则\exists N,当n>N时，都有x_n>0(或x_n<0)$
      通俗解释：当函数极限为正（负）时，一定存在某一项数，使该项之后的数列值都为正（负）
   2. 从数列项的值保极限值（包含0）
      $如果存在N>0,当n>N时，x_n⩾0(或x_n⩽0),则a⩾0(或a⩽0)$
      通俗解释：当某项之后的数列全都为非负（非正）时，极限也为非负（非正）
4. 收敛数列与其子列之间的关系
   以 $x_n$ 的子列 $x_{2k-1}$ 和 $x_{2k}$ 为例：
   可以推出：$\underset{n\rightharpoonup \infty }{\lim }{x}_n=a\iff \underset{n\rightharpoonup \infty }{\lim }{x}_{2k-1}=\underset{n\rightharpoonup \infty }{\lim }{x}_{2k}=a$
   通俗解释：数列极限为 $a$ 时可以推出其每个子列极限都为 $a$，数列的每个子列极限都 相等且为 $a$ 时可以推出数列的极限为 $a$

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函数极限

1. 自变量趋向有限值时函数的极限
   1. 极限（$x$ 从左、右两边的任意一边逼近 $x_0$）
      $\underset{x\rightharpoonup x_0}{\lim }f(x)=A$
      $\forall \epsilon >0，\exists \theta >0$， 当 $0<|x-x_0|<\theta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$
   2. 左极限（$x$ 从左边逼近 $x_0$）
      $\underset{x\rightharpoonup x_0}{\lim }f(x)=f(x_0^{-})=f(x_0-0)$
      $\forall \epsilon >0，\exists \theta >0$ ，当 $0<x_0-x<\theta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$
   3. 右极限（$x$ 从右边逼近 $x_0$）
      $\underset{x\rightharpoonup x_0}{\lim }f(x)=f(x_0^{+})=f(x_0+0)$
      $\forall \epsilon >0，\exists \theta >0$， 当 $0<x-x_0<\theta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$
   4. 函数极限与其左、右极限之间的关系
      $\underset{x\rightharpoonup x_0}{\lim }f(x)=A\iff \underset{x\rightharpoonup x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightharpoonup x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$
      通俗解释：函数$f(x)$在$x$趋向$x_0$时极限为$A$，可以推出 函数$f(x)$在$x$趋向$x_0$时其左、右极限相等且都为A，反之，函数$f(x)$在$x$趋向$x_0$时左、右极限相等且都为$A$，可以推出 函数$f(x)$在$x$趋向$x_0$时极限为$A$
2. 自变量趋于无穷大时函数的极限
   1. 趋于无穷时
      $\underset{x\rightharpoonup \infty }{\lim }f(x)=A$
      $\forall \epsilon >0，\exists X>0$，当 $|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$
   2. 趋于正无穷时
      $\underset{x\rightharpoonup +\infty }{\lim }f(x)=A$
      $\forall \epsilon >0，\exists X>0$，当 $x>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$
   3. 趋于负无穷时
      $\underset{x\rightharpoonup -\infty }{\lim }f(x)=A$
      $\forall \epsilon >0，\exists X>0$，当 $x<-X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$
   4. 趋于无穷时与趋于正、负无穷之间的关系
      $\underset{x\rightharpoonup \infty }{\lim }f(x)=A\iff \underset{x\rightharpoonup +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\rightharpoonup -\infty }{\lim }f(x)=A$
      通俗解释：函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋向无穷时极限为 $A$ ，可以推出函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋向正、负无穷时极限相等且为$A$，反之，函数$f(x)$ 在 $x$ 趋向正、负无穷时极限相等且为$A$，可以推出函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋向无穷时极限为 $A$

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函数极限的性质

1. 唯一性：
   如果一个函数在某一点 $x_0$ 有极限，那么在 $\underset{x\rightharpoonup x_0}{\lim }f(x)$ 时极限唯一
2. 局部有界性
   函数在某一点 $x_0$ 有极限，就可以推出函数 $f(x)$ 在关于 $x_0$ 点的去心领域局部有界，反之不行

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更新中 p7_1/3