【学习笔记】深度学习入门：基于Python的理论与实现-Python入门与感知机

一、Python入门

1.1 NumPy

在深度学习的实现中，经常出现数组和矩阵的计算。NumPy的数组类（numpy.array）中提供了很多便捷的方法，在实现深度学习时，我们将使用这些方法。安装各种第三方库的方式详见：VS Code中安装Python机器学习与数据分析相关第三方模块教程。

导入NumPy：

import numpy as np

生成NumPy数组：

x = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
print(x)  # [1. 2. 3.]

NumPy数组算术运算：

x = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
y = np.array([2.0, 4.0, 6.0])
x + y  # [3. 6. 9.]
x - y  # [-1. -2. -3.]
x * y  # [2. 8. 18.]
x / y  # [0.5 0.5 0.5]
x / 2.0  # [0.5 1. 1.5]，广播功能

多维NumPy数组：

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A.shape  # (2, 2)，查看A的形状
A.dtype  # dtype('int64')，查看矩阵元素的数据类型

广播功能如下图所示：

访问矩阵元素的方式：

X = np.array([[51, 55], [14, 19], [0, 4]])
X[0]  # array([51, 55])，第0行
X[0][1]  # 55，(0, 1)位置的元素
X = X.flatten()  # 将X转换为一维数组
print(X)  # [51 55 14 19 0 4]
X[np.array([0, 2, 4])]  # array([51, 14, 0])，获取索引为0、2、4的元素

从$X$中抽取大于$15$的元素：

X > 15  # array([True, True, False, True, False, False], dtype=bool)
X[X > 15]  # array([51, 55, 19])

1.2 Matplotlib

在深度学习的实验中，图形的绘制和数据的可视化非常重要。Matplotlib是用于绘制图形的库，使用Matplotlib可以轻松地绘制图形和实现数据的可视化。

绘制$sin$函数图像：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成数据
x = np.arange(0, 6, 0.1)  # 以0.1为步长，生成[0, 6)的数据
y = np.sin(x)

# 绘制图形
plt.plot(x, y)
plt.show()

绘制结果如下图所示：

添加$cos$函数，并添加标题和$x$轴标签名等其他功能：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成数据
x = np.arange(0, 6, 0.1)  # 以0.1为步长，生成[0, 6)的数据
y1 = np.sin(x)
y2 = np.cos(x)

# 绘制图形
plt.plot(x, y1, label="sin")
plt.plot(x, y2, linestyle="--", label="cos")  # 用虚线绘制
plt.xlabel("x")  # x轴标签
plt.ylabel("y")  # y轴标签
plt.title('sin & cos')  # 标题
plt.legend()
plt.show()

绘制结果如下图所示：

pyplot中还提供了用于显示图像的方法imshow()。另外，可以使用matplotlib.image模块的imread()方法读入图像：

import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.image import imread

img = imread('lena.png')  # 读入图像（设定合适的路径！这里假定图像lena.png在当前目录下）
plt.imshow(img)
plt.show()

运行上述代码后会显示下图所示的图像：

二、感知机

2.1 感知机是什么

感知机接收多个输入信号，输出一个信号。下图是一个接收两个输入信号的感知机的例子，$x_1,x_2$是输入信号，$y$是输出信号，$w_1,w_2$是权重（$w$是$weight$的首字母）。图中的圆圈称为“神经元”或者“节点”。输入信号被送往神经元时，会被分别乘以固定的权重（$w_1{x}_1,w_2{x}_2$）。神经元会计算传送过来的信号的总和，只有当这个总和超过了某个界限值时，才会输出$1$。这也称为“神经元被激活”。这里将这个界限值称为阈值，用符号$\theta$表示。

把上述内容用数学式来表示就如下式所示：

感知机的多个输入信号都有各自固有的权重，这些权重发挥着控制各个信号的重要性的作用。也就是说，权重越大，对应该权重的信号的重要性就越高。

2.2 简单逻辑电路

现在考虑使用感知机来实现$ANDgate$，其真值表如下图所示：

满足上图条件的参数的选择方法有无数多个。当$(w_1,w_2,\theta )=(0.5,0.5,0.7)$时，可以满足上图条件。设定这样的参数后，仅当$x_1$和$x_2$同时为$1$时，信号的加权总和才会超过给定的阈值$\theta$。

2.3 感知机的实现

用Python来实现上述的逻辑电路：

def AND(x1, x2):
	w1, w2, theta = 0.5, 0.5, 0.7
	tmp = x1 * w1 + x2 * w2
	if tmp <= theta:
		return 0
	elif tmp > theta:
		return 1

我们将之前数学式中的$\theta$换成$-b$，便可用以下式子表示感知机：

此处，$b$称为偏置，$w_1$和$w_2$称为权重。感知机会计算输入信号和权重的乘积，然后加上偏置，如果这个值大于$0$则输出$1$，否则输出$0$。

使用权重和偏置，可以像下面这样实现与门：

def AND(x1, x2):
	x = np.array([x1, x2])
	w = np.array([0.5, 0.5])
	b = -0.7
	tmp = np.sum(w * x) + b
	if tmp <= 0:
		return 0
	else:
		return 1

请注意，偏置和权重$w_1,w_2$的作用是不一样的。具体地说，$w_1$和$w_2$是控制输入信号的重要性的参数，而偏置是调整神经元被激活的容易程度（输出信号为$1$的程度）的参数。

2.4 感知机的局限性

$XORgate$真值表如下图所示：

用前面介绍的感知机是无法实现这个异或门的。以或门为例，当权重参数$(b,w_1,w_2)=(-0.5,1.0,1.0)$时，可满足其真值表条件，此时感知机可用下式表示：

此时感知机会生成由直线$-0.5+x_1+x_2=0$分割开的两个空间。其中一个空间输出$1$，另一个空间输出$0$，如下图所示：

或门在$(x_1,x_2)=(0,0)$时输出$0$，在$(x_1,x_2)$为$(0,1),(1,0),(1,1)$时输出$1$。上图中，圆圈表示$0$，三角形表示$1$。

异或门的输出如下图所示：

想要用一条直线将上图中的圆圈和三角形分开，无论如何都做不到。

使用曲线分割成的非线性空间即可实现以上条件：

2.5 多层感知机

感知机的绝妙之处在于它可以“叠加层”。异或门可以通过与门、与非门和或门组合进行实现，如下图所示：

假设这三种门均已实现，那么用Python实现异或门的代码如下：

def XOR(x1, x2):
	s1 = NAND(x1, x2)
	s2 = OR(x1, x2)
	y = AND(s1, s2)
	return y

下面我们试着用感知机的表示方法（明确地显示神经元）来表示这个异或门，如下图所示，异或门是一种多层结构的神经网络。这里，将最左边的一列称为第$0$层，中间的一列称为第$1$层，最右边的一列称为第$2$层。

下一节：【学习笔记】深度学习入门：基于Python的理论与实现-神经网络。