Chapter8.2：PID控制器设计及MATLAB_SIMULINK应用

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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

2.PID控制器设计及MATLAB/SIMULINK应用

2.1 PID控制器概述

${\rm PID}$ 控制器由比例环节 $({\rm P})$ 、积分环节 $({\rm I})$ 和微分环节 $({\rm D})$ 组成；
基本的 ${\rm PID}$ 控制规律描述：
$G_c(s)=K_p+\frac{K_I}{s}+K_Ds$
${\rm PID}$ 控制器优点：
- 原理简单，使用方便， ${\rm PID}$ 参数 $({\rm K_p、K_I、K_D})$ 可以根据过程动态特性进行调整；
- 适应性强，按 ${\rm PID}$ 控制规律进行工作的控制器早已商品化；
- 鲁棒性强，控制品质对被控制对象特性的变化不太敏感；
${\rm PID}$ 控制器缺点：
- ${\rm PID}$ 在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，效果不太好；
- 如果 ${\rm PID}$ 控制器不能控制复杂过程，怎么调参数都没用；

2.2 比例环节

比例控制：其控制器的输出与输入误差信号成比例关系，仅有比例控制时，系统输出存在稳态误差；
比例控制器传递函数为：
$G_c(s)=K_p；其中：K_p为比例系数$
对于单位反馈系统， $0$ 型系统响应实际阶跃信号 $R_0(t)$ 的稳态误差与其开环增益 $K$ 近似成反比，即 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}e(t)=\displaystyle\frac{R_0}{1+K}$ ；
对于单位反馈系统，Ⅰ型系统响应斜坡信号 $R_1(t)$ 的稳态误差与其开环增益 $K_v$ 近似成反比，即 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}e(t)=\displaystyle\frac{R_1}{K_v}$ ；
${\rm P}$ 控制只改变系统的增益不影响其相位，对系统的影响主要反映在系统的稳态误差和稳定性上；
增大比例系数可提高系统的开环增益、减小系统的稳态误差，提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至造成闭环系统的不稳定；
在系统校正和设计中， ${\rm P}$ 控制一般不单独使用；
比例控制器系统结构如下：
系统特征方程： $D(s)=1+K_pG(s)H(s)=0$ ；

实验要求：已知控制系统如下图所示，其中 $G(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+1)(2s+1)(5s+1)}$ ， $H (s)$ 为单位反馈，对系统采用纯比例控制，比例系数分别为： $K_p=0.1、2.0、2.4、3.0、3.5$ ，求解各比例系数下系统的单位阶跃响应，绘制响应曲线。

解：

% 实例Chapter8.2.2
clc;clear;

% 建立控制系统模型
num=[1];den=conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]);
G=tf(num,den);
kp=[0.1,2.0,2.4,3.0,3.5];

for i=1:5
    G=feedback(kp(i)*G,1);
    step(G);hold on;
end

legend('K=0.1','K=2.0','K=2.4','K=3.0','K=3.5');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('不同Kp值控制系统单位阶跃响应曲线','FontSize',15);

随着 $K_p$ 的增大，系统响应速度越快，系统超调量增加，调节时间增长，当 ${\rm K_p}$ 增大到一定值后，闭环系统将趋于不稳定；

2.3 比例微分环节

具有比例加微分控制规律的控制称为 ${\rm PD}$ 控制， ${\rm PD}$ 的传递函数为：
$G_c(s)=K_p+K_p\tau{s}；其中：K_p为比例系数，\tau为微分时间常数$
具有 ${\rm PD}$ 控制器的系统结构如下图所示：
${\rm PD}$ 控制器的输出信号为：
$u(t)=K_pe(t)+K_p\tau\frac{ {\rm d}e(t)}{ {\rm d}t}$
微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分(即误差的变化率)成正比关系；
微分控制反映误差的变化率，只有当误差随时间变化时，微分控制才会对系统起作用，对无变化或缓慢变化的对象不起作用；
微分控制不能单独与被控对象串联使用，只能构成 ${\rm PD}$ 或 ${\rm PID}$ 控制；
自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至不稳定，是因为存在较大惯性的环节或有滞后的环节，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化；
解决办法：使抑制误差作用的变化"超前"，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零；
控制器中比例项的作用是放大误差的幅值，增加的"微分项"能预测误差变化的趋势，"比例+微分"的控制器，能提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至负值，从而避免被控量的严重超调；
实际应用中，当设定值有突变时，为了防止由于微分控制输出的跳变，常把微分控制环节设置在反馈回路中，称为微分先行，即微分运算只对测量信号进行，而不对设定信号进行；

实验要求：已知控制系统如下图所示，其中 $G(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+1)(2s+1)(5s+1)}$ ， $H (s)$ 为单位反馈，对系统采用比例微分控制，比例系数为： $K_p=2$ ，微分系数分别为： $\tau=0、0.3、0.7、1.5、3$ ，求解各比例微分系数下系统的单位阶跃响应，绘制响应曲线。

解：

% 实例Chapter8.2.3
clc;clear;

% 建立控制系统模型
tau=[0,0.3,0.7,1.5,3];kp=2;
num=[1];den=conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]);
G=tf(num,den);

for i=1:5
    G1=tf([kp*tau(i),kp],1);
    sys=feedback(G1*G,1);
    step(sys);hold on;
end

legend('τ=0','τ=0.3','τ=0.7','τ=1.5','τ=3');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('不同τ值控制系统单位阶跃响应曲线','FontSize',15);

2.4 积分环节

具有积分控制规律的控制称为积分控制，即 ${\rm I}$ 控制， ${\rm I}$ 控制传递函数为：
$G_c(s)=\frac{K_1}{s}；其中：K_1为积分系数；$
控制器的输出信号为：
$u(t)=K_1\int_0^te(t){\rm d}t$
或称积分控制器输出信号 $u (t)$ 的变化率与输入信号 $e (t)$ 成正比，即：
$\frac{ {\rm d}u(t)}{ {\rm d}t}=K_1e(t)$
对于一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，称为有差系统；
为了消除稳态误差，在控制器中必须引入积分项，积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大，即使误差很小，积分项随着时间的增加而增大，推动控制器的输出增大，使稳态误差进一步减小，直到等于零；
采用积分控制是要使控制系统无稳态误差，但积分项引入后会产生相位滞后，从而导致系统稳定性变差，积分控制一般不单独使用，通常结合比例控制器构成比例积分 $({\rm PI})$ 控制器；

2.5 比例积分控制

具有比例加积分控制规律的控制称为比例积分控制，即 ${\rm PI}$ 控制， ${\rm PI}$ 控制的传递函数为：
$G_c(s)=K_p+\frac{K_p}{T_i}·\frac{1}{s}=\frac{K_p(s+\displaystyle\frac{1}{T_i})}{s}$
其中： $K_p$ 为比例系数， $T_i$ 为积分时间常数；
控制器的输出信号为：
$u(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_i}\int_0^te(t){\rm d}t$
${\rm PI}$ 控制器可以使系统在进入稳态后无稳态误差， ${\rm PI}$ 控制器与被控对象串联连接时，相当于在系统中增加一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于 $s$ 左半平面的开环零点；
位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；
增加的负实部零点可以减小系统的阻尼比，缓和 ${\rm PI}$ 控制器极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响；

实验要求：已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为： $G(s)=\displaystyle\frac{1}{(s+1)(2s+1)(5s+1)}$ ，采用比例积分控制，比例系数为 $K_p=2$ ，积分时间常数分别取： $T_i=3、6、14、21、28$ ，求各比例积分系数下系统的单位阶跃响应，并绘制响应曲线。

解：

% 实例Chapter8.2.5
clc;clear;

% 建立控制系统模型
ti=[3,6,14,21,28];kp=2;

num=[1];den=conv(conv([1,1],[2,1]),[5,1]);
G=tf(num,den);

for i=1:5
    G1=tf([kp,kp/ti(i)],[1,0]);
    sys=feedback(G1*G,1);
    step(sys);hold on;
end

legend('Ti=3','Ti=6','Ti=14','Ti=21','Ti=28');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('不同Ti值控制系统单位阶跃响应曲线','FontSize',15);

2.6 比例积分微分控制

具有比例积分微分控制规律的控制称为比例积分微分控制，即 ${\rm PID}$ 控制；
${\rm PID}$ 控制的传递函数为：
$G_c(s)=K_p+\frac{K_p}{T_i}·\frac{1}{s}+K_p\tau{s}=\frac{K_p}{T_i}·\frac{T_i\tau{s^2}+T_is+1}{s}$
其中： $K_p$ 为比例系数， $T_i$ 为积分时间常数， $\tau$ 为微分时间常数；
${\rm PID}$ 控制器的输出信号为：
$u(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_i}\int_0^te(t){\rm d}t+K_p\tau\frac{ {\rm d}e(t)}{ {\rm d}t}$
${\rm PID}$ 控制器与被控对象串联连接时，可以使系统的类型级别提高一级，提供两个负实部的零点；
${\rm PID}$ 控制器具有提高系统稳态性能的优点，还多提供了一个负实部零点，在提高系统动态性能方面具有更大的优势；
${\rm PID}$ 控制通过积分作用消除误差，微分控制可缩小超调量、加快系统响应；从频域看， ${\rm PID}$ 控制通过积分作用于系统的低频段，提高系统的稳态性能，微分作用于系统的中频段，改善系统的动态性能；

2.7 PID控制器参数整定

${\rm PID}$ 控制器参数整定方法：

理论计算整定法：依据控制系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数，理论计算的方法得到的计算数据不一定能直接使用，需要通过工程实际进行调整和修改；
工程整定法：主要有 ${\rm Ziegler-Nichols}$ 整定法、临界比例整定法、衰减曲线法；工程整定法不需要事先知道过程的数学模型，直接在过程控制中进行现场整定，方法简单，计算简便，易于掌握；

2.7.1 Ziegler-Nichols整定法

${\rm Ziegler-Nichols}$ 法是一种基于频域设计 ${\rm PID}$ 控制器的方法，基于频域的参数整定需要参考模型，首先需要辨识出一个能较好反映被控对象频域特性的二阶模型，根据模型，结合给定的性能指标推导出公式，用于 ${\rm PID}$ 参数的整定；
基于频域的设计方法在一定程度上回避了精确的系统建模，且有较明确的物理意义，比常规的 ${\rm PID}$ 控制有更多的可适应场合；
${\rm Ziegler-Nichols}$ 法是根据给定对象的瞬态响应特性来确定 ${\rm PID}$ 控制器参数，首先通过实验获取控制对象单位阶跃响应，如下图所示：
如果单位阶跃响应曲线像一条 ${\rm S}$ 形曲线，则可用 ${\rm Ziegler-Nichols}$ 法，否则不能用；
${\rm S}$ 形曲线用延迟时间 ${\rm L}$ 和时间常数 ${\rm T}$ 描述，则对象传递函数近似为：
$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K{\rm e}^{-Ls}}{Ts+1}$

${\rm Ziegler-Nichols}$ 法整定控制器参数公式计算如下表：

$控制器类型$	$比例度\delta/\%$	$积分时间T_i$	$微分时间\tau$
${\rm P}$	$\displaystyle\frac{T}{(K·L)}$	$\infty$	$0$
${\rm PI}$	$0.9\displaystyle\frac{T}{(K·L)}$	$\displaystyle\frac{L}{0.3}$	$0$
${\rm PID}$	$1.2\displaystyle\frac{T}{(K·L)}$	$2.2 L$	$0.5 L$

2.7.2 实战1

实验要求：已知控制系统如下图所示，系统开环传递函数为： $G(s)=\displaystyle\frac{8}{(360s+1)}{\rm e}^{-180s}$ ，采用 ${\rm Ziegler-Nichols}$ 整定公式计算系统 ${\rm P、PI、PID}$ 控制器的参数，并绘制整定后系统的单位阶跃响应曲线。

解：

【 ${\rm STEP1}$ 】：建立 ${\rm SIMULINK}$ 仿真模型。

${\rm Integrator}$ 为积分器， ${\rm Derivative}$ 为微分器， ${\rm Kp}$ 为比例系数 ${\rm K_p}$ ， ${\rm 1/Ti}$ 为积分时间常数 $T_i$ ， ${\rm tau}$ 为微分时间常数 ${\rm tau}$ ；
进行 ${\rm P}$ 控制器参数整定时，微分器和积分器的输出不连接系统，在 ${\rm SIMULINK}$ 模型中，将微分器和积分器的输出连线断开；进行 ${\rm PI}$ 控制器参数整定时，微分器的输出连线断开；

【 ${\rm STEP2}$ 】：获取开环系统的单位阶跃响应。

在 ${\rm SIMULINK}$ 模型中，把反馈连线、微分器的输出连线、积分器的输出连线断开， ${\rm Kp}$ 的值设置为 $1$ ，滞后时间 $180$ ；
系统开环单位阶跃响应曲线如下：
由开环单位阶跃响应曲线可得：
$L = 180 ， T = 540 - 180 = 360 ， K = 8$

【 ${\rm STEP3}$ 】：控制器整定。

${\rm P}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=0.25$ ，将 ${\rm K_p}$ 的值设置为 $0.25$ ，微分器和积分器连线断开；
${\rm P}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：
${\rm PI}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=0.225$ ，积分时间常数为： $T_i=594$ ，将 ${\rm Kp}$ 的值设置为 $0.225$ ，将 ${\rm 1/T_i}$ 的值设置为 $1/594$ ，微分器连线断开；
${\rm PI}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：
${\rm PID}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=0.3$ ，积分时间常数为： $T_i=396$ ，微分时间常数为： $\tau=90$ ，将 ${\rm Kp}$ 的值设置为 $0.225$ ，将 ${\rm 1/T_i}$ 的值设置为 $1/594$ ，将 $\tau$ 的值设置为 $90$ ；
${\rm PID}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：

2.7.3 实战2

实验要求：已知控制系统如下所示，其中系统开环传递函数为： $G(s)=\displaystyle\frac{1.67}{(4.05s+1)}·\displaystyle\frac{8.22}{(s+1)}{\rm e}^{-1.5s}$ ，采用 ${\rm Ziegler-Nichols}$ 整定公式计算系统 ${\rm P、PI、PID}$ 控制器的参数，并绘制整定后系统的单位阶跃响应曲线。

解：

【 ${\rm STEP1}$ 】：建立 ${\rm SIMULINK}$ 仿真模型。

${\rm Integrator}$ 为积分器， ${\rm Derivative}$ 为微分器， ${\rm Kp}$ 为比例系数 ${\rm K_p}$ ， ${\rm 1/Ti}$ 为积分时间常数 $T_i$ ， ${\rm tau}$ 为微分时间常数 ${\rm tau}$ ；
进行 ${\rm P}$ 控制器参数整定时，微分器和积分器的输出不连接系统，在 ${\rm SIMULINK}$ 模型中，将微分器和积分器的输出连线断开；进行 ${\rm PI}$ 控制器参数整定时，微分器的输出连线断开；

【 ${\rm STEP2}$ 】：获取开环系统的单位阶跃响应。

在 ${\rm SIMULINK}$ 模型中，把反馈连线、微分器的输出连线、积分器的输出连线断开， ${\rm Kp}$ 的值设置为 $1$ ，滞后时间 $1.5$ ；
系统开环单位阶跃响应曲线如下：
由开环单位阶跃响应曲线可得：
$L = 2.2 ， T = 9.2 - 2.2 = 7 ， K = 13.727$

【 ${\rm STEP3}$ 】：控制器整定。

${\rm P}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=0.2318$ ，将 ${\rm K_p}$ 的值设置为 $0.2318$ ，微分器和积分器连线断开；
${\rm P}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：
${\rm PI}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=0.2086$ ，积分时间常数为： $T_i=7.3333$ ，将 ${\rm Kp}$ 的值设置为 $0.2086$ ，将 ${\rm 1/T_i}$ 的值设置为 $1/7.3333$ ，微分器连线断开；
${\rm PI}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：
${\rm PID}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=0.3$ ，积分时间常数为： $T_i=4.84$ 微分时间常数为： $\tau=1.1$ ，将 ${\rm Kp}$ 的值设置为 $0.3$ ，将 ${\rm 1/T_i}$ 的值设置为 $1/4.84$ ，将 $\tau$ 的值设置为 $1.1$ ；
${\rm PID}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：

2.7.4 临界比例度法

临界比例度法适用于已知对象传递函数的场合，在闭合的控制系统里，将调节器置于纯比例作用，从大到小逐渐改变调节器的比例度，得到等幅振荡的过渡过程；
此时的比例度称为临界比例度 $\delta_k$ ，相邻两个波峰间的时间间隔称为临界振荡周期 $T_k$ ；
采用临界比例度法时，系统产生临界振荡的条件是系统的阶数是 $3$ 阶或 $3$ 阶以上；

临界比例度法步骤：

将调节器的积分时间 $T_i$ 置于最大 $(T_i=\infty)$ ，微分时间置零 $(\tau=0)$ ，比例度 ${\rm \delta}$ 取适当值，平衡操作一段时间，把系统投入自动运行；
将比例度 $\delta$ 逐渐减小，得到等幅振荡过程，记录临界比例度 $\delta_k$ 和临界振荡周期 $T_k$ 的值；

根据 $\delta_k$ 和 $T_k$ 的值，根据经验公式，计算调节器的各个参数，经验公式如下：

$控制器类型$	$比例度\delta/\%$	$积分时间T_i$	$微分时间\tau$
${\rm P}$	$2\delta_k$	$\infty$	$0$
${\rm PI}$	$2.2\delta_k$	$0.833T_k$	$0$
${\rm PID}$	$1.7\delta_k$	$0.50T_k$	$0.125T_k$

按照"先 ${\rm P}$ 后 ${\rm I}$ 最后 ${\rm D}$ "的操作顺序将调节器整定参数调到计算值上；
临界比例度整定法注意事项：
- 有的过程控制系统，临界比例度很小，调节阀不是全关就是全开，对工业生产不利；
- 有的过程控制系统，当调节器比例度 $\delta$ 调到最小刻度值时，系统仍不产生等幅振荡，此时，将最小刻度的比例度作为临界比例度 $\delta_k$ 进行调节器参数整定；

2.7.5 实战3

实验要求：已知控制系统如下所示，其中系统开环传递函数为： $G(s)=\displaystyle\frac{1}{s(s+1)(s+5)}$ ，采用临界比例度法计算系统 ${\rm P、PI、PID}$ 控制器的参数，并绘制整定后系统的单位阶跃响应曲线。

解：

【 ${\rm STEP1}$ 】：建立 ${\rm SIMULINK}$ 仿真模型。

【 ${\rm STEP2}$ 】：获取等幅振荡曲线。

临界比例度整定法需要先获取系统的等幅振荡曲线，在 ${\rm SIMULINK}$ 中，把微分器的输出连线、积分器的输出连线都断开， ${\rm Kp}$ 的值从大到小进行试验，观察示波器的输出进行调节，直到输出等于等幅振荡；
等幅振荡曲线如下：
出现等幅振荡时， $K p = 30$ ，此时 $T_k=2.81$ ；

【 ${\rm STEP3}$ 】：控制器整定。

${\rm P}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=15$ ，将 ${\rm K_p}$ 的值设置为 $15$ ，微分器和积分器连线断开；
${\rm P}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：
${\rm PI}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=13.5$ ，积分时间常数为： $T_i=2.3417$ ，将 ${\rm Kp}$ 的值设置为 $13.5$ ，将 ${\rm 1/T_i}$ 的值设置为 $1/2.3417$ ，微分器连线断开；
${\rm PI}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：
${\rm PID}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=17.6471$ ，积分时间常数为： $T_i=1.405$ 微分时间常数为： $\tau=0.35124$ ，将 ${\rm Kp}$ 的值设置为 $17.6471$ ，将 ${\rm 1/T_i}$ 的值设置为 $1/1.405$ ，将 $\tau$ 的值设置为 $0.35124$ ；
${\rm PID}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：

【注】：工程整定方法依据的是经验公式，不是任何情况下都适用，按照经验公式整定的 ${\rm PID}$ 参数需要进一步调整才能实际应用。

2.7.6 衰减曲线法

衰减曲线法根据衰减频率特性整定控制器参数；把控制系统中调节器参数设置成纯比例作用 $(T_i=\infty,\tau=0)$ ,使系统投入运行，再把比例度 $\delta$ 从大逐渐调小，直到出现 $4 : 1$ 衰减过程曲线，如下图所示：
由衰减曲线可知，此时的比例度为 $4 : 1$ ，即 $\displaystyle\frac{P_1}{P_2}=4:1$ ，衰减比例度为 $\delta_s$ ，上升时间为 $t_r$ ，两个相邻波峰间的时间间隔 $T_s$ 称为 $4 : 1$ 衰减振荡周期；

衰减曲线法整定控制器参数经验公式如下：

$控制器类型$	$比例度\delta/\%$	$积分时间T_i$	$微分时间\tau$
${\rm P}$	$\delta_s$	$\infty$	$0$
${\rm PI}$	$1.2\delta_s$	$2t_r或0.5T_s$	$0$
${\rm PID}$	$0.8\delta_s$	$1.2t_r或0.3T_s$	$0.4t_r或0.1T_s$

按照"先 ${\rm P}$ 后 ${\rm I}$ 最后 ${\rm D}$ "的操作顺序将调节器整定参数调到计算值上；
衰减曲线法注意事项：
- 反应较快的控制系统，要认定 $4 : 1$ 衰减曲线和读出 $T_s$ 比较困难，此时可用记录指针来回摆动两次就达到稳定做 $4 : 1$ 衰减过程；
- 在生产过程中，负荷变化会影响过程特性，当负荷变化较大时，必须重新整定控制器参数值；
- 若认为 $4 : 1$ 衰减太慢，可采用 $10 : 1$ 衰减过程，步骤与 $4 : 1$ 一样，仅使用的经验公式不同；

2.7.7 实战4

试验要求：已知控制系统如下所示，其中系统开环传递函数为： $G(s)=\displaystyle\frac{6}{(s+1)(s+2)(s+3)}$ ，采用衰减曲线法计算系统 ${\rm P、PI、PID}$ 控制器参数，并绘制整定后系统的单位阶跃曲线。

解：

【 ${\rm STEP1}$ 】：建立 ${\rm SIMULINK}$ 仿真模型。

【 ${\rm STEP2}$ 】：获取衰减曲线。

衰减曲线整定法需要先获取系统的衰减曲线，在 ${\rm SIMULINK}$ 中，把微分器的输出连线、积分器的输出连线都断开， ${\rm Kp}$ 的值从大到小进行试验，观察示波器的输出进行调节，直到输出 $4 : 1$ 衰减振荡曲线；
衰减曲线如下：
衰减曲线出现时， $K_p=3.823$ ，且有 $T_s=4.24-1.55=2.69$ ；

【 ${\rm STEP3}$ 】：控制器整定。

${\rm P}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=3.823$ ，将 ${\rm K_p}$ 的值设置为 $3.823$ ，微分器和积分器连线断开；
${\rm P}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：
${\rm PI}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=3.1858$ ，积分时间常数为： $T_i=1.345$ ，将 ${\rm Kp}$ 的值设置为 $3.1858$ ，将 ${\rm 1/T_i}$ 的值设置为 $1/1.345$ ，微分器连线断开；
${\rm PI}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：
${\rm PID}$ 控制器整定时，比例放大系数为： $K_p=4.7787$ ，积分时间常数为： $T_i=0.807$ 微分时间常数为： $\tau=0.269$ ，将 ${\rm Kp}$ 的值设置为 $4.7787$ ，将 ${\rm 1/T_i}$ 的值设置为 $1/0.807$ ，将 $\tau$ 的值设置为 $0.269$ ；
${\rm PID}$ 控制器单位阶跃响应曲线如下：

2.7.8 PID参数整定规律

增大比例系数一般加快系统的响应，在有静差的情况下有利于减小静差，但过大的比例系数会使系统有较大的超调，并产生振荡，使系统稳定性变差；
增大积分时间有利于减小超调、减小振荡，使系统稳定性增加，但系统静差消除时间变长；
增大微分时间有利于加快系统响应速度，使系统超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动抑制能力减弱；