【编程练习】视力表

题目来源：牛客，阿里巴巴编程题（2星），第10题

题目描述

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题解

这道题的本质就是实现 $\text{C}_n^m$ ，ans = $\text{C}_{N^2}^a$ + $\text{C}_{N^2-a}^b$ + $\text{C}_{N^2-a-b}^c$ 。
代码如下：

import math
p = 998244353
def power(x,y):     #求x的y次方
    global p
    res = 1
    while y:
        if y % 2 != 0:
            res *= (x%p)
        y >>= 1
        x *= (x%p)
    return res

def comb(n,m): # Cnm
    global p,power
    a = (math.factorial(n))%p
    b = (power(math.factorial(m),(p-2)))%p
    c = (power(math.factorial(n-m),(p-2)))%p
    return a*b*c%p


def main():
    global comb,p
    N,a,b,c,d = map(int,input().split())
    ans = comb(N*N,a)*comb(N*N-a,b)*comb(N*N-a-b,c)%p
    print(ans)
    return

if __name__ == '__main__':
    main()

知识点：实现组合数 $\text{C}_n^m$ 计算的三种方法

法一：直接计算
$\text{C}_n^m$ 的计算公式为 $\frac{n!}{m!*(n-m)!}$ 。当n和m较小时，可直接利用该公式进行计算：

import math
ans = math.factorial(n)//(math.factorial(m)*math.factorial(n-m))

新姿势：math.factorial(n)返回n的阶乘；

法二：用定义式递归
递推表达式： $\text{C}_n^m=\text{C}_{n-1}^{m-1}+\text{C}_{n-1}^m$ 。
所以，代码实现如下：
注意递归出口

def comb(n,m):
	if m==1:
		return n
	elif m==n:
		return 1
	else:
		return comb(n-1,m-1)+comb(n-1,m)

法三：逆元+快速幂
当n和m较大时，题目一般会要求返回对p取模之后的结果，这时问题就转换成求解(a/b)%p的结果，其中，a为n!，b为m!*(n-m)!。

为求解(a/b)%p，首先介绍逆元的概念：
当a和p互素，若b满足(a*b)%p=1，则b为a%p的逆元。

有了这个概念，我们就可以对(a/b)%p做如下转换：
假设c为b%p的逆元，即(c*b)%p=1，则：
(a/b)%p = (a/b*1)%p
= (a/b*(b*c)%p)%p
= a*c%p
= (a%p)*(c%p)%p

这样，(a/b)%p就转换成了乘法问题。

下面，利用费马小定理求解逆元：
费马小定理：当p为质数，且a%p!=0时，则 $a^{p-1}\%p=1$ 。
也就是说， $a^{p-2}*a\%p=1$ ，即 $a^{p-2}$ 是a%p的逆元。

现在，再利用快速幂计算 $a^{p-2}$ ，之后就可大功告成。

总结一下，我们要求解的目标是n!/(m!*(n-m)!)%p，
首先，我们需要求解(m!*(n-m)!)%p的逆元，也就是分别求解m!%p和(n-m)!%p的逆元，记作b和c。
接着，当求解完逆元b和c，即可计算n!/(m!*(n-m)!)%p，即n!*b*c%p。

总结起来，利用逆元+快速幂计算 $\text{C}_n^m$ 的代码如下：

import math
p = 998244353
def power(x,y):     #求x的y次方,快速幂
    global p
    res = 1
    while y:
        if y % 2 != 0:
            res *= (x%p)
        y >>= 1
        x *= (x%p)
    return res
def comb(n,m):
	global p,power
	a = (math.factorial(n))%p
	b = (power(math.factorial(m),p-2))%p
	c = (power(math.factorial(n-m),p-2))%p
	return a*b*c%p

ref：https://blog.csdn.net/bianxia123456/article/details/105151104；