1. 给定upbound的Christofides方法

这是可以给出上界的一个方法，可以证明构造出的路线不超过最优路线的1.5倍。步骤为：
1）构造MST（最小生成树）
2）将里面的奇点连接起来构成欧拉回路称为完美匹配。Edmonds给出了多项式时间内构造最小代价完美匹配的方法，其长度不超过最优解的1.5倍。
在这里插入图片描述
证明方法也很直观，奇点最短路径可以拆分成两条完美匹配，其中总有一条的长度 $\le$ 最优奇点路径长度/2 $\le$ 最优完整路径长度/2

3）按欧拉回路顺序逐个扫描点，跳过重复经过的点，即可构造一条完整的路径。
在这里插入图片描述

下面是blossom算法的使用示例：

using BlossomV,TravelingSalesmanHeuristics,TSPLIB,Distances,DataStructures
tsp = readTSP("vlsi/bcl380.tsp"); # bays29
N = tsp.dimension
distmat = [euclidean(tsp.nodes[i,:],tsp.nodes[j,:]) for i in 1:N, j in 1:N]
mst = TravelingSalesmanHeuristics.minspantree(distmat)[1]
x = counter(cat([m[1] for m in mst],[m[2] for m in mst],dims=1))
odds = []
for xi in x
    if xi[2]%2==1
        append!(odds,xi[1])
    end
end
mat = Matching(Float64, length(odds))
for i in 1:length(odds)
    for j in 1:i-1
        add_edge(mat,i-1,j-1,distmat[odds[i],odds[j]])
    end
end
solve(mat)

using PyPlot
tree = mst
PyPlot.scatter(tsp.nodes[:,1],tsp.nodes[:,2],color="black",s=10)
for i in 1:length(tree)
    l = tsp.nodes[[tree[i][1],tree[i][2]],:]
    PyPlot.plot(l[:,1], l[:,2], color="black",linewidth = 1)
end
for i in 1:length(odds)
    j = get_match(mat,i-1)+1
    if j>i
        l = tsp.nodes[[odds[i],odds[j]],:]
        PyPlot.plot(l[:,1],l[:,2],color="r",linewidth = 0.5,linestyle="--")
    end
end

在这里插入图片描述

2. 松弛问题

首先看一个例子：
在这里插入图片描述
我们定义 $x_{ij}$ 为边ij是否在路径上。根据TSP问题的要求，每个点只能路过一次，因此每个点连着两条边，有：

3. lazy constraint介绍

3.1 子回路约束

如下图，上面的模型无法避免subtour
在这里插入图片描述

为了消除两个子路径的情形，再增添约束条件：
在这里插入图片描述
要想完全枚举出所有这样的约束条件很难，在城市数目为10时，不等式数目就达到51043900866个。因此我们常采用行生成（也叫割平面）的方法，从松弛问题开始，每次求解完后，若发现有子路径，则不断增添拆散子路径的约束条件即可。示意如下，其中红色表示0.5，黑色表示1：
在这里插入图片描述