1. 简介
比特承诺方案是密码协议的重要成分，广泛应用于电子拍卖、商业谈判、电子投票、电子现金和在线游戏等领域，还可以用于零知识证明、身份认证和安全多方计算协议等。
比特承诺方案（Bit Commitment Scheme）解决这样的问题：Alice向Bob承诺一个预测（比特值），直到一段时间之后才揭示着预测（比特值）；在这期间，Alice不能改变自己的预测（比特值）。
比特承诺的一个直观例子：Alice 把消息 M M M(承诺)放在一个箱子里(只有Alice有钥匙)并将它锁住送给Bob，等到 Alice 决定向 Bob证实消息 M M M时，Alice把消息 M M M及钥匙给 Bob，Bob 能够打开箱子并验证箱子里的消息同 Alice出示的消息是否相同，且Bob 确信箱子里的消息在他保管期间没有被篡改。
比特承诺包括两个阶段：
- 承诺阶段：Alice选择一个要承诺的比特或比特序列 b b b，并把能表示该比特的消息 c c c发送至Bob。
- 打开阶段：Alice把打开承诺的消息 d d d与承诺 b b b，发送至Bob；Bob用 d d d打开消息 c c c，验证 b b b是否为A承诺的比特。
一个安全的比特承诺方案需满足以下两个性质：
- 隐藏性：承诺阶段，接收方Bob不能得到发送方Alice承诺的比特值。一个承诺方案是完善隐蔽的，如果接收方不能从发送的消息中得到关于承诺的任何消息。
- 绑定性：给定承诺阶段的交互信息，接收者只能接受一个合法的承诺。即发送方不能在打开承诺的阶段改变自己承诺的比特。
常见的比特承诺方案有基于对称密码算法的，基于单向函数的以及基于数学难解问题的，包括基于大数分解的与基于离散对数的等。
2. 基于对称密码算法的比特承诺方案
承诺者Alice要向检验者Bob承诺 b b b，基于对称密码算法的比特承诺方案如下:
Alice 和 Bob 共同选定某种对称加密算法 E E E
承诺阶段：
- Bob产生一个随机比特串 r r r并发送给 Alice
- Alice 随机选择一个密钥 k k k，利用对称加密算法 E E E对 r r r和需承诺的比特 b b b加密得 c = E ( r , b ) c=E(r,b) c=E(r,b)，最后将加密后的结果 c c c发送给验证者 Bob
打开阶段：
- 当需要 Alice 公开承诺时,她将密钥 k k k和承诺的比特 b b b发送给 Bob
- Bob利用密钥 k k k解密 c c c，并利用他的随机串 r r r检验比特 b b b的有效性。
3. 基于单向函数的比特承诺方案
承诺者Alice要向检验者Bob承诺 b b b，基于单向函数的比特承诺方案如下:
Alice和Bob共同选定一个单向函数 H ( ⋅ ) H(·) H(⋅)，如Hash函数
承诺阶段：
- Alice生成两个随机数 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2，计算单向函数值 h = H ( r 1 , r 2 , M ) h=H(r_1,r_2,M) h=H(r1,r2,M)，并将散列结果 h h h和其中一个随机数，如 r 1 r_1 r1发送给Bob
打开阶段：
- 当Alice向Bob出示承诺 b b b时，把承诺 b b b和另一个随机数 r 2 r_2 r2一起发送给Bob
- Bob计算 H ( r 1 , r 2 , M ) H(r_1,r_2,M) H(r1,r2,M)的值，并与第（2）步收到的 h h h值做比较，验证承诺 b b b的有效性。
Alice通过发送随机数 r 1 r_1 r1对 b b b做出承诺，也就是说散列值 h h h和随机数 r 1 r_1 r1构成了Alice向Bob承诺的证据。
该协议的优点是Bob不必发送任何消息。
4. Pederson承诺协议
承诺者Alice要向检验者Bob承诺 m m m，Pederson的比特承诺方案如下:
系统参数: p 、 q p、q p、q是大素数，且 q / p − 1 q/p-1 q/p−1 , 满足 Z p Z_{p} Zp中离散对数问题是难解的, g g g 是 Z p ∗ Z_{p}^{*} Zp∗ 的 本原元，随机数 y ∈ Z p ∗ y \in Z_{p}^{*} y∈Zp∗
承诺阶段:
Alice 选择需要承诺的消息比特串 m ∈ Z q m \in Z_{q} m∈Zq, 并生成随机数 r ∈ Z q ∗ r \in Z_{q}^{*} r∈Zq∗; 计算 c = g r y m m o d p c= g^{r} y^{m} \bmod p c=grymmodp 作为对消息 m m m的承诺，将 c c c发送至 Bob。
打开阶段：
Alice将 m m m与 r r r发送至Bob；Bob通过收到的 r r r打开承诺，验证 c c c的计算是否与收到的承诺一致。如果一致，则认为承诺有效，否则无效。