方程组的求解本文不做介绍。

一、三次样条插值

1. 定义

三次样条插值（Cublic Spline Interpolation），简称 Spline 插值，是通过一系列样本点的光滑曲线，数学上通过求解三弯矩方程组得出曲线函数组。

2. 解决什么问题？

通过采集数据，通常有两种做法：拟合或差值。拟合不要求曲线通过所有的样本点，讲究神似，即整体趋势一致；插值讲究形似，即要求曲线穿过每个样本点。插值生成的高阶曲线很容易出现龙格库塔现象，所以一般采用分段插值。三次样条插值就是分段插值的一种方式。

二、原理详解

假设在区间 [a, b] 上有 n+1 个样本点，即 [a, b] 区间被划分成 n 个区间 $\left [ (x_{0}, x_{1}), (x_{1}, x_{2}), ..., (x_{n-1}, x_{n}) \right ]$ ，其中两个端点 $x_{0}=a, x_{n}=b$ ，则有如下：

1. 三次样条方程条件

（1）在每个分段区间上，插值函数都是一个三次方程；

（2）满足插值条件，即每个样本点都被某段插值函数穿过；

（3）曲线光滑，即插值函数二阶及二阶以下导函数连续。

如果 S(x) 是 f(x) 的三次样条插值函数，则必须满足：

（1）插值条件： $S(x^{_{j}})=y_{j}, j=0, 1, ..., n$

（2）连续性条件： $\lim_{x\rightarrow x_{j}}S(x)=S(x_{j})=y_{j}, j=1, 2, ..., n-1$

（3）一阶导数连续条件： $\lim_{x\rightarrow x_{j}}S^{{}'}(x)=S{}'(x_{j})=m_{j}, j=1, 2, ..., n-1$

（4）二阶导数连续条件： $\lim_{x\rightarrow x_{j}}S^{{}''}(x)=S{}''(x_{j}), j=1, 2, ..., n-1$

（参考：三次样条插值算法详解.ppt）

2. 三次样条方程组

每个子区间内有 4 个未知数，一共有 n 个区间，所以一共有 4n 个未知数需要求解，则至少需要 4n 个约束条件。

（1）一阶导数连续

除了两个端点，所有 n-1 个内部点的一阶导数连续，即左右两个三次函数的一阶导数在当前样本点处的值相等，即满足 $S{}'_{i}(x_{i+1})=S{}'_{i+1}(x_{i+1})$ ，共有 n-1 个方程。

（2）二阶导数连续

除了两个端点，所有 n-1 个内部点的二阶导数连续，即左右两个三次函数的二阶导数在当前样本点处的值相等，即满足 $S{}''_{i}(x_{i+1})=S{}''_{i+1}(x_{i+1})$ ，共有 n-1 个方程。

（3）每个样本点处连续

a. 除了两个端点，所有 n-1 个内部点都满足 $S_{i}(x_{i+1})=y_{i+1}=S_{i+1}(x_{i+1})$ ，共有 2(n-1) 个方程；

b. 两个端点分别满足第一个和最后一个三次函数方程，共有 2 个方程。

（4）边界条件

以上三个条件共有 4n-2 个限制条件了，还差 2 个条件即可求解方程参数，这两个方程我们通过边界条件得到。

有三种边界条件：自然边界、固定边界、非节点处边界。

自然边界：端点二阶导数为零，即 $S{}''(x_{0})=0=S{}''(x_{n})$ 。

（参考：三次样条（cubic spline）插值）

三、和线性插值对比

（1）线性插值

平面上两个点可以确定一条直线，这就是线性插值的原理。所以线性插值生成的曲线是折线，即每相邻两点之间均是直线。

缺点：曲线不够光滑，会导致函数的一阶导函数不连续。

Matlab 命令是 interp1。

（参考：MATLAB插值函数interp1）

（参考：interp1）

（2）三次样条插值

三次样条插值是用三次函数曲线来代替线性插值的直线，即每相邻两点之间均是表达式为 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 的三次函数曲线。

Matlab 命令是 spline。

优点：高次插值不收敛且不稳定；低次插值既收敛又稳定，但是低次插值光滑性差，如分段线性插值一阶导数不存在。总之，m 次样条函数最优。

（参考：三次样条插值法）

（参考：spline）