L2-018 多项式A除以B（25 分）

这仍然是一道关于A/B的题，只不过A和B都换成了多项式。你需要计算两个多项式相除的商Q和余R，其中R的阶数必须小于B的阶数。

输入格式：

输入分两行，每行给出一个非零多项式，先给出A，再给出B。每行的格式如下：

N e[1] c[1] ... e[N] c[N]

其中N是该多项式非零项的个数，e[i]是第i个非零项的指数，c[i]是第i个非零项的系数。各项按照指数递减的顺序给出，保证所有指数是各不相同的非负整数，所有系数是非零整数，所有整数在整型范围内。

输出格式：

分两行先后输出商和余，输出格式与输入格式相同，输出的系数保留小数点后1位。同行数字间以1个空格分隔，行首尾不得有多余空格。注意：零多项式是一个特殊多项式，对应输出为“000.0”。但非零多项式不能输出零系数（包括舍入后为0.0）的项。在样例中，余多项式其实有常数项“-1/27”，但因其舍入后为0.0，故不输出。

输入样例：

4 4 1 2 -3 1 -1 0 -1
3 2 3 1 -2 0 1

输出样例：

3 2 0.3 1 0.2 0 -1.0
1 1 -3.1

分析：（参考：点击打开链接）

计算

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}.

把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：

{\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}.

然后商和余数可以这样计算：

将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x³ ÷ x = x²).

${\displaystyle {$ }} ${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}$
将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x² · (x − 3) = x³ − 3x²).

${\displaystyle {$ }} ${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}$
从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。((x³ − 12x²) − (x³ − 3x²) = −12x² + 3x² = −9x²)然后，将分子的下一项“拿下来”。

${\displaystyle {$ }} ${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}$
把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式）

${\displaystyle {$ }} ${\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}$
重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。

${\displaystyle {$ }} ${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为10的情形。

除法变换[编辑]

使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。考虑多项式 P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。然后，对某个商多项式 Q(x) 和余数多项式 R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），

{\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x).

这种变换叫做除法变换，是从算数等式 ${\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }$ .^[1] 得到的。

应用[编辑]

多项式的因式分解[编辑]

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用有理数根定理得到的。如果一个 $n$ 次多项式 $P(x)$ 的一个根 $r$ 已知，那么 $P(x)$ 可以使用多项式长除法因式分解为 $(x-r)Q(x)$ 的形式，其中 $Q(x)$ 是一个 $n-1$ 次的多项式。简单来说， $Q(x)$ 就是长除法的商，而又知 $r$ 是 $P(x)$ 的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 $r$ 和 $s$ 这两个，那么可以先从 $P(x)$ 中除掉线性因子 $x-r$ 得到 $Q(x)$ ，再从 $Q(x)$ 中除掉 $x-s$ ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 $x^{2}-(r+s)x+rs$ 。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果有理数根定理可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线[编辑]

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。^[2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)² 的余式——也即，除以 x²-2rx+r²——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。

代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
double a[100000],b[100000],c[100000];
int main()
{
    int i,j,n,m,k,t,l,Ma,Mb,numa=0,numb=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&m);
        scanf("%lf",&a[m]);
        if(i==0)
            Ma=m;
    }
    scanf("%d",&l);
    for(i=0;i<l;i++)
    {
        scanf("%d",&m);
        scanf("%lf",&b[m]);
        if(i==0)
            Mb=m;
    }
    //printf("%d %d\n",Ma,Mb);
    for(i=Ma;i>=Mb;i--)
    {
        c[i-Mb]=a[i]/b[Mb];
        for(j=Mb;j>=0;j--)
        {
            a[i+j-Mb]-=b[j]*c[i-Mb];
        }
    }
    for(i=Ma-Mb;i>=0;i--)
    {
        if(fabs(c[i])>1e-6)
        {
            if(fabs(c[i])<0.05)
            {
                c[i]=0;
            }
            else
            {
                numa++;
            }
        }
    }
    for(i=Mb-1;i>=0;i--)
    {
        if(fabs(a[i])>1e-6)
        {
            if(fabs(a[i])<0.05)
            {
                a[i]=0;
            }
            else
            {
                numb++;
            }
        }
    }
    if(numa==0)
    {
        printf("0 0 0.0\n");
    }
    else
    {
        printf("%d",numa);
        for(i=Ma-Mb;i>=0;i--)
        {
            if(fabs(c[i])>1e-6)
            {
                printf(" %d %.1lf",i,c[i]);
            }
        }
        printf("\n");
    }

    if(numb==0)
    {
        printf("0 0 0.0\n");
    }
    else
    {
        printf("%d",numb);
        for(i=Mb-1;i>=0;i--)
        {
            if(fabs(a[i])>1e-6)
            {
                printf(" %d %.1lf",i,a[i]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}