一、旅行商问题简介
旅行商问题
TSP，即旅行商问题，又称TSP问题（Traveling Salesman
Problem），是数学领域中著名问题之一。
问题概述
假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。TSP问题是一个NPC问题。
问题由来
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由美国RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线形规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
示例：
黑色数字代表点、红色代表路径的花费
输入：
4 6
1 2 1
1 4 2
1 3 4
2 3 1
2 4 2
3 4 3
输出：
最短距离为：7
共2条最短路径：
1-->4-->3-->2-->1
1-->2-->3-->4-->1
提示：
第一行输入点的个数n和边的个数m,点的编号为1~n
接下来m行输入m条边以及花费,x y v,表示点x和点y之间有一条无向边，边的花费为v
二、枚举所有方案
1、思路
我们只需要固定起点和终点，用全排列枚举中间点的排列，判断方案是否是最优的，如果是，则记录下来
例如4个点,那么我们固定起点为0，终点为0，枚举1-3的全排列，判断每一种方案是否是最优的，选择性第保留或者抛弃
4个点的方案有6个：
0 1 2 3 0
0 1 3 2 0
0 2 1 3 0
0 2 3 1 0
0 3 1 2 0
0 3 2 1 0
2、代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;//n点的个数，m边的个数
int a[15][15];//邻接矩阵存无向图
int p[15];
long long ans=0x3f3f3f3f;
vector<vector<int> > paths;
void init(){
//初始化
memset(a,0x3f,sizeof a);//初始化为一个足够大的值,代表不可达
for(int i=0;i<15;i++){
p[i]=i;
}
cout<<"请输入点和边的个数："<<endl;
cin>>n>>m;
p[0]=0;//起点为0
p[n]=0;//终点为0
cout<<"请输入"<<m<<"条边："<<endl;
for(int i=0;i<m;i++){
int x,y,val;
cin>>x>>y>>val;
x--;
y--;
a[x][y]=val;
a[y][x]=val;
}
}
long long check(){
long long sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(a[p[i-1]][p[i]]==0x3f3f3f3f){
//如果该点不可达,那么就直接退出
return 0x3f3f3f3f;
}
sum+=a[p[i-1]][p[i]];
}
return sum;
}
void print(){
//打印路径
cout<<"最短距离为："<<ans<<endl;
cout<<"共"<<paths.size()<<"条最短路径：" <<endl;
for(int i=0;i<paths.size();i++){
for(int j=paths[i].size()-1;j>=0;j--){
if(j<paths[i].size()-1){
cout<<"-->";
}
cout<<paths[i][j]+1;
}
cout<<endl;
}
}
int main(){
init();
do{
long long sum=check();
if(sum<=ans){
if(sum<ans){
//如果有更优的解,那么就抛弃掉先去的路径
paths.clear();
}
ans=sum;
vector<int> path;
for(int i=0;i<=n;i++){
path.push_back(p[i]);
}
paths.push_back(path);//添加当前的路径
}
}while(next_permutation(p+1,p+n));//枚举1~n-1的全排列
if(ans==0x3f3f3f3f){
cout<<"该图无解"<<endl;
return 0;
}
print();
}
3、复杂度分析
时间复杂度： 枚举全排列，对每一个排列做一次查询，时间复杂度为O(n*(n!))
空间复杂度： 存储所有的最优的路径，空间复杂度为O(n*(n!))
三、深度优先搜索
1、思路
我们从0点出发，深度优先搜索所有的路径，符合要求则记录下来
2、代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[15][15];//邻接矩阵存无向图
long long ans=0x3f3f3f3f;//存储答案
vector<vector<int> > paths;//存储路径
void init(){
//初始化
memset(a,0x3f,sizeof a);//初始化为一个足够大的值,代表不可达
cout<<"请输入点和边的个数："<<endl;
cin>>n>>m;
cout<<"请输入"<<m<<"条边："<<endl;
for(int i=0;i<m;i++){
int x,y,val;
cin>>x>>y>>val;
x--;
y--;
a[x][y]=val;
a[y][x]=val;
}
}
long long sum=0;
vector<int> path(1,0);//存储实时的路径
int vis[15];//判断该点是否已经走过了
void dfs(int i){
//i指的是目前在哪个点
if(i==0){
//目前的点是终点
int flag=1;
for(int j=0;j<n;j++){
//并且所有的点都走过一遍
if(vis[j]==0)flag=0;
}
if(flag==1){
if(sum<=ans){
if(sum<ans){
//如果有更优的解,则抛弃之前存储的路径
paths.clear();
}
ans=sum;
paths.push_back(path);//存储当前路径
}
return;
}
}
for(int j=0;j<n;j++){
//深搜+回溯
if(vis[j]==0){
path.push_back(j);
sum+=a[i][j];
vis[j]=1;
dfs(j);
path.pop_back();
sum-=a[i][j];
vis[j]=0;
}
}
}
void print(){
//打印路径
cout<<"最短距离为："<<ans<<endl;
cout<<"共"<<paths.size()<<"条最短路径：" <<endl;
for(int i=0;i<paths.size();i++){
for(int j=paths[i].size()-1;j>=0;j--){
if(j<paths[i].size()-1){
cout<<"-->";
}
cout<<paths[i][j]+1;
}
cout<<endl;
}
}
int main(){
init();
dfs(0);
if(ans==0x3f3f3f3f){
cout<<"该图无解"<<endl;
return 0;
}
print();
}
3、复杂度分析
时间复杂度： 深度搜索O(n!)，每次都要判断是否符合题意O(n)，总时间复杂度为O(n*(n!))
空间复杂度： 存储所有的最优的路径，空间复杂度为O(n*(n!))