题目链接：https://leetcode.cn/problems/1nzheng-shu-zhong-1chu-xian-de-ci-shu-lcof/
1. 题目介绍（43. 1～n 整数中 1 出现的次数）
输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。
【测试用例】：
示例1：
输入：n = 12
输出：5
示例2：
输入：n = 13
输出：6
【条件约束】：
限制：
- 1 <= n < 2^31
【跟踪】：
注意：本题与主站 233. 数字 1 的个数 题目相同。
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2. 题解
2.1 暴力枚举 – O(nlogn)
时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(1)
计算机解决问题其实没有任何奇技淫巧，它唯一的解决办法就是穷举，穷举所有可能性。算法设计无非就是先思考“如何穷举”，然后再追求“如何聪明地穷举”。
【解题思路】：
累加1~n中每个整数1出现的次数。我们可以通过每次对10求余判断整数的个位数字是不是1。如果这个数字大于10，则除以10之后再判断个位数字是不是1。
……
【实现策略】：
- 从
1开始循环遍历到 输入的参数n，将其放入对数求余方法中；- 对数求余方法中定义变量
num，记录每个数字中1的数量并返回。
class Solution {
// Solution1：枚举
public int countDigitOne(int n) {
int res = 0;
// 枚举每一个数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += NumberOf1(i);
}
// 循环结束，返回结果
return res;
}
// 对数求余，判断该数有多少个1
public int NumberOf1(int num) {
int count = 0;
while (num != 0){
if (num % 10 == 1) count++;
num = num/10;
}
return count;
}
}
2.2 数学分析1（原书题解）-- O(logn)
时间复杂度O(logn)，空间复杂度O(1)
【解题思路】：
如果希望不用计算每个数字的1的个数，那就只能去寻找1在数字中出现的规律了。以数字21345为例，我们可以1 ~ 21345中的所有数字分为两段：
- 一段是
1 ~ 1345；- 一段是
1346 ~ 21345；……
其中1346 ~ 21345又可以分为两段：
- 一段是
1346 ~ 11345；- 一段是
11346 ~ 21345；……
根据以上的分段，我们就可以把求所有数字中 1 的个数分为 2 个区域：
- 仅首位是 1 的个数；
- 除去首位之后的数字的 1 的个数；
那么我们就可以使用递归的方法来解决这个问题，思路就是：
每次去掉最高位进行递归，递归的次数和位数相同。以21345为例：
- 递归方法中要求 仅首位是 1 的个数（即，
10000 ~ 19999），其个数为 Math.pow(10,len-1)；- 递归方法中要求 除去首位之后的数字的 1 的个数 （即，
1346 ~x1345），其个数为首位数字 * （位数-1） * Math.pow(10,len-2);- 去掉首位后 （即，
1 ~ 1345），递归。……
【注意点】：
Math.pow(a,b)的计算结果返回是double类型，double类型转换为int类型就需要用到类型转换： int c=(int)Math.pow(a,b) ；否则就会出现以下错误：
class Solution {
// Solution1：数学分析
public int countDigitOne(int n) {
// 无效数据判断
if (n <= 0) return 0;
// 将 n 转化为字符串（方便编程）
String str = String.valueOf(n);
return numberOf1(str);
}
// 分三部分判断 1~n 中 1 的个数
public int numberOf1(String str) {
// 获取字符数组长度（即，输入参数 n 的位数）
int len = str.length();
// 获取 n 中首位数字
int first = str.charAt(0) - '0';
// 如果长度为1，则根据情况返回 0 or 1
if (len == 1 && first == 0) return 0;
if (len == 1 && first > 0) return 1;
// 如果长度大于1，就对其进行数字划分，以21345为例
// 第一区域：10000 ~ 19999 首位 1 的个数 （10000）
int firstOneNum = 0;
if (first > 1) firstOneNum = (int) Math.pow(10,len-1);
// 如果首位为 1，那么首位 1 的个数就为后面的数字再加1
else if (first == 1) firstOneNum = Integer.parseInt(str.substring(1))+1;
// 第二区域：1346 ~ 21345 除首位之外所有 1 的个数
int otherOneNum = first * (len-1) * (int) Math.pow(10,len-2);
// 第三区域：1 ~ 1345 （递归求解）
int recursiveNum = 0;
recursiveNum = numberOf1(str.substring(1));
// 最后返回三个区域的加和
return firstOneNum + otherOneNum + recursiveNum;
}
// 返回 10 的 n 次幂
public int powerBase10(int n) {
int num = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
num *= 10;
}
return num;
}
}
2.3 数学分析2 – O(logn)
时间复杂度O(logn)，空间复杂度O(1)
【解题思路】：
某位中1出现次数的计算方法：
根据当前位cur值的不同，分为以下三种情况：
- cur = 0
- cur = 1
- curr > 1
其中 high 为高位，cur 为当前位，low 为 低位， digit 为 位因子
class Solution {
public int countDigitOne(int n) {
int digit = 1, res = 0;
int high = n / 10, cur = n % 10, low = 0;
while(high != 0 || cur != 0) {
if(cur == 0) res += high * digit;
else if(cur == 1) res += high * digit + low + 1;
else res += (high + 1) * digit;
low += cur * digit;
cur = high % 10;
high /= 10;
digit *= 10;
}
return res;
}
}
3. 参考资料
[1] 面试题43. 1～n 整数中 1 出现的次数（清晰图解）
[2] Java中数字、字符、字符串 转换方法总结
[3] Java_String 截取字符串方法substring()
[4] 灵魂拷问：Java如何获取数组和字符串的长度？length还是length()？