[TJOI2015]线性代数

Description

给出一个NN的矩阵B和一个1N的矩阵C。求出一个1*N的01矩阵A.使得

D=（AB-C）A^T最大。其中A^T为A的转置。输出D

Input

第一行输入一个整数N，接下来N行输入B矩阵，第i行第J个数字代表Bij.

接下来一行输入N个整数，代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不超过1000的非负整数。

Output

输出最大的D

Sample Input

3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7

Sample Output

HINT

1<=N<=500

Solution

这题么，其实还是很不错的了。刚拿道题没有头绪，然后就开始手动化简题目里的式子。

化着化着就变成了这样：\(D=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^na_j*b_{i,j}-c_i)*a_i\)

去掉括号之后就可以发现，题目相当于我们有这么些个数，同时取i，j有\(b_{i,j}\)的收益，然后每取一个数都有\(c_i\)的花费。

扫描二维码关注公众号，回复： 1471961 查看本文章

就是一个最大权闭合子图的问题。

Code

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define re register
#define inf 400000000
#define MAXN 250002
#define MAXM 2000000
using namespace std;
int n,s,q,t,l[501],h[501],cur[200051],b[501][501],c[501],id[501][501],cnt,tot;
struct po
{
    int nxt,to,w;
}edge[MAXM];
int head[MAXN],dep[MAXN],num=-1;
inline int read()
{
    int x=0,c=1;
    char ch=' ';
    while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-')ch=getchar();
    while(ch=='-')c*=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*c;
}
inline void add_edge(int from,int to,int w)
{
    edge[++num].nxt=head[from];
    edge[num].to=to;
    edge[num].w=w;
    head[from]=num;
}
inline void add(int from,int to,int w)
{
    add_edge(from,to,w);
    add_edge(to,from,0);
}
inline bool bfs()
{
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    queue<int> q;
    while(!q.empty())
    q.pop();
    q.push(s);
    dep[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(re int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        {
            int v=edge[i].to;
            if(dep[v]==0&&edge[i].w>0)
            {
                dep[v]=dep[u]+1;
                if(v==t)
                return 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return 0;
}
inline int dfs(int u,int dis)
{
    if(u==t)
    return dis;
    int diss=0;
    for(re int& i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(edge[i].w!=0&&dep[v]==dep[u]+1)
        {
            int check=dfs(v,min(dis,edge[i].w));
            if(check>0)
            {
                dis-=check;
                diss+=check;
                edge[i].w-=check;
                edge[i^1].w+=check;
                if(dis==0) break;
            }
        }
    }
    return diss;
}
inline int dinic()
{
    int ans=0;
    while(bfs())
    {
        for(re int i=0;i<=t;i++)
        cur[i]=head[i];
        while(int d=dfs(s,inf))
        ans+=d;
    }
    return ans;
}
int main() 
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();
    s=0;t=n*n+n+1;cnt=n;
    for(re int i=1;i<=n;i++)
        for(re int j=1;j<=n;j++)
            b[i][j]=read(),tot+=b[i][j],id[i][j]=++cnt;
    for(re int i=1;i<=n;i++)
        c[i]=read(),add(s,i,c[i]);
    for(re int i=1;i<=n;i++){
        for(re int j=1;j<=n;j++){
            add(id[i][j],t,b[i][j]);
            add(i,id[i][j],inf);
            add(j,id[i][j],inf);
        }
    }
    cout<<(tot-dinic());
    return 0;
}