并查集基础：
并查集被很多OIer认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：
- 合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
- 查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。
并查集的引入
并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。我曾看过一个有趣的比喻，把集合比喻成帮派，而代表元素则是帮主。接下来我们利用这个比喻，看看并查集是如何运作的。
最开始，所有大侠各自为战。他们各自的帮主自然就是自己。（对于只有一个元素的集合，代表元素自然是唯一的那个元素）
现在1号和3号比武，假设1号赢了（这里具体谁赢暂时不重要），那么3号就认1号作帮主（合并1号和3号所在的集合，1号为代表元素）。
现在2号想和3号比武（合并3号和2号所在的集合），但3号表示，别跟我打，让我帮主来收拾你（合并代表元素）。不妨设这次又是1号赢了，那么2号也认1号做帮主。
现在我们假设4、5、6号也进行了一番帮派合并，江湖局势变成下面这样：
现在假设2号想与6号比，跟刚刚说的一样，喊帮主1号和4号出来打一架（帮主真辛苦啊）。1号胜利后，4号认1号为帮主，当然他的手下也都是跟着投降了。
好了，比喻结束了。如果你有一点图论基础，相信你已经觉察到，这是一个树状的结构，要寻找集合的代表元素，只需要一层一层往上访问父节点（图中箭头所指的圆），直达树的根节点（图中橙色的圆）即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树：
（好像有点像个火柴人？）
用这种方法，我们可以写出最简单版本的并查集代码。
初始化
int fa[MAXN];
inline void init(int n)
{
for (int i = 1; i <= n; ++i)
fa[i] = i;
}假如有编号为1, 2, 3, ..., n的n个元素，我们用一个数组fa[]来存储每个元素的父节点（因为每个元素有且只有一个父节点，所以这是可行的）。一开始，我们先将它们的父节点设为自己。
查询
int find(int x)
{
if(fa[x] == x)
return x;
else
return find(fa[x]);
}我们用递归的写法实现对代表元素的查询：一层一层访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是本身）。要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。
合并
inline void merge(int i, int j)
{
fa[find(i)] = find(j);
}合并操作也是很简单的，先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设为后者即可。当然也可以将后者的父节点设为前者，这里暂时不重要。本文末尾会给出一个更合理的比较方法。
路径压缩
最简单的并查集效率是比较低的。例如，来看下面这个场景：
现在我们要merge(2,3)，于是从2找到1，fa[1]=3，于是变成了这样：
然后我们又找来一个元素4，并需要执行merge(2,4)：
从2找到1，再找到3，然后fa[3]=4，于是变成了这样：
大家应该有感觉了，这样可能会形成一条长长的链，随着链越来越长，我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。
怎么解决呢？我们可以使用路径压缩的方法。既然我们只关心一个元素对应的根节点，那我们希望每个元素到根节点的路径尽可能短，最好只需要一步，像这样：
其实这说来也很好实现。只要我们在查询的过程中，把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。下一次再查询时，我们就可以省很多事。这用递归的写法很容易实现：
合并（路径压缩）
int find(int x)
{
if(x == fa[x])
return x;
else{
fa[x] = find(fa[x]); //父节点设为根节点
return fa[x]; //返回父节点
}
}以上代码常常简写为一行：
int find(int x)
{
return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}注意赋值运算符=的优先级没有三元运算符?:高，这里要加括号。
路径压缩优化后，并查集的时间复杂度已经比较低了，绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决。然而，对于某些时间卡得很紧的题目，我们还可以进一步优化。
547.岛屿数量
class UnionSet{
public:
vector<int> parent;
int count;
UnionSet(int size){
parent.resize(size);
for(int i=0;i<size;i++){
parent[i]=i;
}
count=size;
}
int find(int index){
if(index==parent[index]){
return index;
}
else{
int res=find(parent[index]);
parent[index]=res;
return res;
}
}
void Union(int index1,int index2){
int parent1=find(index1);
cout<<parent1<<" "<<endl;
int parent2=find(index2);
cout<<parent2<<" "<<endl;
if(parent1==parent2)return;
else{
parent[parent2]=parent1;
count--;
}
return ;
}
};
class Solution {
public:
int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
int size=isConnected.size();
UnionSet unionSet(size);
for(int i=0;i<isConnected.size()-1;i++){
for(int j=i+1;j<isConnected[0].size();j++){
cout<<i<<" "<<j<<endl;
if(isConnected[i][j]==1){
unionSet.Union(i,j);
}
}
}
return unionSet.count;
}
};
347.岛屿数量
class UnionSet{
public:
vector<int> parent;
int count=0;//并查集中有多少个连通子图
UnionSet(int size){
parent.resize(size);
for(int i=0;i<size;i++){
parent[i]=i;
}
}
int find(int index){
if(index==parent[index]){
return index;
}
else{
int res=find(parent[index]);
parent[index]=res;
return res;
}
}
void Union(int index1,int index2){
int parent1=find(index1);
int parent2=find(index2);
if(parent1==parent2)return;
else{
parent[parent2]=parent1;
cout<<index1<<" "<<index2<<endl;
count--;
}
return ;
}
};
class Solution {
public:
int numIslands(vector<vector<char>>& grid) {
int size=grid.size()*grid[0].size();
UnionSet unionSet(size);
cout<<grid.size()<<endl;
cout<<grid[0].size()<<endl;
for(int i=0;i<grid.size();i++){
for(int j=0;j<grid[0].size();j++){
if(grid[i][j]=='1'){
unionSet.count++;
if(i+1<grid.size()&&grid[i+1][j]=='1'){
unionSet.Union(i*grid[0].size()+j,(i+1)*grid[0].size()+j);
}
if(j+1<grid[0].size()&&grid[i][j+1]=='1'){
unionSet.Union(i*grid[0].size()+j,i*grid[0].size()+j+1);
}
}
}
}
return unionSet.count;
}
};
684.冗余连接
多了一个函数判断是否处于同一个并查集，就是用isConnected的函数
class UnionSet{
public:
vector<int> parent;
int count=0;//并查集中有多少个连通子图
UnionSet(int size){
parent.resize(size);
for(int i=0;i<size;i++){
parent[i]=i;
}
}
int find(int index){
if(index==parent[index]){
return index;
}
else{
int res=find(parent[index]);
parent[index]=res;
return res;
}
}
void Union(int index1,int index2){
int parent1=find(index1);
int parent2=find(index2);
if(parent1==parent2)return;
else{
parent[parent2]=parent1;
cout<<index1<<" "<<index2<<endl;
count--;
}
return ;
}
bool isConnected(int index1,int index2){
int parent1=find(index1);
int parent2=find(index2);
if(parent1==parent2)return true;
else return false;
}
};
class Solution {
public:
vector<int> findRedundantConnection(vector<vector<int>>& edges) {
int size=edges.size();
UnionSet unionSet(size);
vector<int> res;
for(int i=0;i<size;i++){
int index1=edges[i][0]-1;//由于这里下标从1开始，所以需要-1
int index2=edges[i][1]-1;
if(unionSet.isConnected(index1,index2)){
res.clear();
res.push_back(index1+1);
res.push_back(index2+1);
}
else{
unionSet.Union(index1,index2);
}
}
return res;
}
};1319.联通网络的操作次数
计算有多少个实际有用的线条即可
class UnionSet{
public:
vector<int> parent;
int count=0;//并查集中有多少个连通子图
UnionSet(int size){
parent.resize(size);
for(int i=0;i<size;i++){
parent[i]=i;
}
}
int find(int index){
if(index==parent[index]){
return index;
}
else{
int res=find(parent[index]);
parent[index]=res;
return res;
}
}
void Union(int index1,int index2){
int parent1=find(index1);
int parent2=find(index2);
if(parent1==parent2)return;
else{
parent[parent2]=parent1;
cout<<index1<<" "<<index2<<endl;
count--;
}
return ;
}
bool isConnected(int index1,int index2){
int parent1=find(index1);
int parent2=find(index2);
if(parent1==parent2)return true;
else return false;
}
};
class Solution {
public:
int makeConnected(int n, vector<vector<int>>& connections) {
UnionSet unionSet(n);
if(connections.size()<n-1)return -1;
int usefulCount=0;
for(int i=0;i<connections.size();i++){
int index1=connections[i][0];
int index2=connections[i][1];
if(unionSet.isConnected(index1,index2)){
}
else{
unionSet.Union(index1,index2);
usefulCount++;
}
}
return n-1-usefulCount;
}
};990.等式方程的可满足性
990. 等式方程的可满足性
https://leetcode.cn/problems/satisfiability-of-equality-equations/
方法一：并查集
我们可以将每一个变量看作图中的一个节点，把相等的关系 == 看作是连接两个节点的边，那么由于表示相等关系的等式方程具有传递性，即如果 a==b 和 b==c 成立，则 a==c 也成立。也就是说，所有相等的变量属于同一个连通分量。因此，我们可以使用并查集来维护这种连通分量的关系。
首先遍历所有的等式，构造并查集。同一个等式中的两个变量属于同一个连通分量，因此将两个变量进行合并。
合并的时候使用递归的方式去查询，找到我这个并查集的代表人物。另外加一行代码可以实现路径压缩。
然后遍历所有的不等式。同一个不等式中的两个变量不能属于同一个连通分量，因此对两个变量分别查找其所在的连通分量，如果两个变量在同一个连通分量中，则产生矛盾，返回 false。
如果遍历完所有的不等式没有发现矛盾，则返回 true。
具体实现方面，使用一个数组 parent 存储每个变量的连通分量信息，其中的每个元素表示当前变量所在的连通分量的父节点信息，如果父节点是自身，说明该变量为所在的连通分量的根节点。一开始所有变量的父节点都是它们自身。对于合并操作，我们将第一个变量的根节点的父节点指向第二个变量的根节点；对于查找操作，我们沿着当前变量的父节点一路向上查找，直到找到根节点。
我们不能在一次循环中同时遍历完等式和不等式
应该先遍历等式，然后得到所有相等关系，再来从头遍历不等式，判断是否不等。
class UnionSet{
public:
vector<int> parent;
int count=0;//并查集中有多少个连通子图
UnionSet(int size){
parent.resize(size);
for(int i=0;i<size;i++){
parent[i]=i;
}
}
int find(int index){
if(index==parent[index]){
return index;
}
else{
int res=find(parent[index]);
parent[index]=res;
return res;
}
}
void Union(int index1,int index2){
int parent1=find(index1);
int parent2=find(index2);
if(parent1==parent2)return;
else{
parent[parent2]=parent1;
count--;
}
return ;
}
bool isConnected(int index1,int index2){
int parent1=find(index1);
int parent2=find(index2);
if(parent1==parent2)return true;
else return false;
}
};
class Solution {
public:
bool equationsPossible(vector<string>& equations) {
UnionSet unionSet(26);
for(int i=0;i<equations.size();i++){
int index1=equations[i][0]-'a';
int index2=equations[i][3]-'a';
if(equations[i][1]=='='){
unionSet.Union(index1,index2);
}
}
for(int i=0;i<equations.size();i++){
int index1=equations[i][0]-'a';
int index2=equations[i][3]-'a';
if(equations[i][1]=='!'){
if(unionSet.isConnected(index1,index2)==true){
return false;//判断结果违背，直接返回false
}
}
}
return true;
}
};