傅里叶变换
能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
傅里叶级数
周期函数 f ( t ) f(t) f(t)
f ( t ) = a 0 + a 1 c o s ( w 1 t ) + b 1 s i n ( w 1 t ) + a 2 c o s ( 2 w 1 t ) + b 2 s i n ( 2 w 1 t ) + . . . + a n c o s ( n w 1 t ) + b n s i n ( n w 1 t ) + . . . = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w 1 t ) + b n s i n ( n w 1 t ) ] f(t) = a_0 + a_1cos(w_1t) + b_1sin(w_1t) + a_2cos(2w_1t) + b_2sin(2w_1t) + ... + a_ncos(nw_1t) + b_nsin(nw_1t) + ... \\ = a_0 + \sum^{\infty}_{n = 1}{[a_ncos(nw_1t) + b_nsin(nw_1t)] } f(t)=a0+a1cos(w1t)+b1sin(w1t)+a2cos(2w1t)+b2sin(2w1t)+...+ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)+...=a0+n=1∑∞[ancos(nw1t)+bnsin(nw1t)]
其中，直流分量
a 0 = 1 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) d t a_0 = \frac{1}{T_1}\displaystyle \int^{t_0 + T_1}_{t_0}{f(t)dt} a0=T11∫t0t0+T1f(t)dt
余弦分量
a n = 2 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) c o s ( n w 1 t ) d t a_n = \frac{2}{T_1}\displaystyle \int^{t_0 + T_1}_{t_0}{f(t)cos(nw_1t)dt} an=T12∫t0t0+T1f(t)cos(nw1t)dt
正弦分量
b n = 2 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) s i n ( n w 1 t ) d t b_n = \frac{2}{T_1}\displaystyle \int^{t_0 + T_1}_{t_0}{f(t)sin(nw_1t)dt} bn=T12∫t0t0+T1f(t)sin(nw1t)dt
根据欧拉公式可得
a n − j b n 2 = 1 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) e − j n w 1 t d t \frac{a_n-jb_n}{2} = \frac{1}{T_1}\displaystyle \int^{t_0 + T_1}_{t_0}{f(t)e^{-jnw_1t}dt} 2an−jbn=T11∫t0t0+T1f(t)e−jnw1tdt
即
F ( n w 1 ) = 1 T 1 ∫ t 0 t 0 + T 1 f ( t ) e − j n w 1 t d t F(nw_1) = \frac{1}{T_1}\displaystyle \int^{t_0 + T_1}_{t_0}{f(t)e^{-jnw_1t}dt} F(nw1)=T11∫t0t0+T1f(t)e−jnw1tdt
对连续非周期信号则变化为
F ( w ) = lim T 1 → ∞ ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) e − j n w 1 t d t F(w) = \lim_{T_1 \to \infty}\displaystyle \int^{\frac{T_1}{2}}_{-\frac{T_1}{2}}{f(t)e^{-jnw_1t}dt} F(w)=T1→∞lim∫−2T12T1f(t)e−jnw1tdt
即
F ( w ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j w t d t F(w) = \displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}{f(t)e^{-jwt}dt} F(w)=∫−∞∞f(t)e−jwtdt
时域与频域
时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。
时移与频移特性
时移
时域上延迟 t 0 t_0 t0个时间单位，频域上幅度没有变化，相位会有 − j w t 0 -jwt_0 −jwt0的变化
频移
频域上延迟 t 0 t_0 t0个时间单位，是指信号 f ( t ) f(t) f(t)对振荡信号 e j w 0 t e^{jw_0t} ejw0t进行幅度调试，调制后的信号 f ( t ) e j w 0 t f(t)e^{jw_0t} f(t)ejw0t的频谱是原来信号 f ( t ) f(t) f(t)的频谱 F ( w ) F(w) F(w)进行平移，也就是频谱搬移。
拉普拉斯变换
由于存在某些增长信号如 e a t e^{at} eat,在傅里叶变换中不满足绝对可积的要求，引入衰减因子 e − σ t e^{-\sigma t} e−σt,使得 e − σ t f ( t ) e^{-\sigma t}f(t) e−σtf(t)积分得以收敛
由此得出
F = ∫ 0 ∞ [ e − σ t f ( t ) ] e − j w t d t = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − ( σ + j w ) t d t F=\displaystyle \int^{\infty}_{0}{[e^{-\sigma t}f(t)]e^{-jwt}dt} \\ = \displaystyle \int^{\infty}_{0}{f(t)e^{-(\sigma+jw)t}dt} F=∫0∞[e−σtf(t)]e−jwtdt=∫0∞f(t)e−(σ+jw)tdt
可得,其中 s = σ + j w s=\sigma+jw s=σ+jw
F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\displaystyle \int^{\infty}_{0}{f(t)e^{-st}dt} F(s)=∫0∞f(t)e−stdt
频域与s域关系
(收敛区的划分)
s = σ + j w s=\sigma+jw s=σ+jw
把时域的微分运算变成s的代数运算。
零点与极点
H ( s ) = K ∏ j = 1 m s − z j ∏ i = 1 n s − p i H(s)=\frac{K\prod_{j=1}^m{s - z_j}}{\prod_{i=1}^n{s - p_i}} H(s)=∏i=1ns−piK∏j=1ms−zj
To be.