【问题描述】
给定一个由 N 个整数构成的数列 {A}，
求出如下描述的两个最长子串：
【输入数据】
对于每个测试点：
第一行包括一个整数 T，代表数据组数。
对于接下来的每一组数据，包括两行。
第一行，为一个整数 N 代表序列长度。
第二行，为用空格分隔的 N 个整数 Ai。
【输出数据】
对于第 i 组数据，你需要输出组数标示 “Case i: ” 其中 i 表示当前的数据组数。
紧接着，需要输出所要计算的参数α与β，以空格分隔。
如果不存在所要求的子串，对应的参数α或β设为 -1。
【输入样例 1】
3
2
7 2
4
2 2 3 4
3
2 2 4
【输出样例 1】
Case 1: 2 2
Case 2: 4 2
Case 3: -1 -1
【数据范围】
对于 20% 的数据, T = 1, N ⩽ 10, Ai ⩽ 10(1 ⩽ i ⩽ N)。
对于 50% 的数据, T ⩽ 10, N ⩽ 100, Ai ⩽ 100(1 ⩽ i ⩽ N)。
对于 70% 的数据, T ⩽ 20, N ⩽ 1000, Ai⩽ 1000(1 ⩽ i ⩽ N)。
对于 100% 的数据, 1⩽ T ⩽ 30, 1 ⩽ N ⩽ 10^5 , 1 ⩽ Ai ⩽ 10^6 (1 ⩽ i ⩽ N)。
【题目来源】
雅礼 2014 模拟赛 18
—————————————分割の线————————————————————
【分析】
对于每组数据我们将GCD和LCM分开讨论，
GCD部分：
因为最大公因数是多个数公共拥有的，所以(x,y,z)=((x,y),z)=((x,z),y)=((y,z),x)
易证，最大公因数的大小随着数字数目的增多而下降
如果有任意几个数的最大公因数为1，则所有数的最大公因数为1。反之，如果所有数的最大公因数不为1，则不存在任意几个数的最大公因数为1
伪代码表示为
if(gcd(a1,a2,a3,...an)==1)printf("%d\n",n);
else printf("-1");LCM部分：
这部分的耗时相对来说要多的多。最小公倍数为这几个数的乘积，说明这几个数两两互质，即不存在相同的质因数。
这里有两种算法，两种都讲，但这里只代码实现第二种：
- 动态规划
此处用f[i]表示以第i个数结尾的序列最长长度。
f[i]=min(f[i-1]+1,i-k+1);k表示从左往右最后一个不与ai互质的数的序号。
答案就是ans=max{f[1],f[2],f[3]…f[n]};
时间复杂度为O(n); - 队列维护
构造并维护一个队列，使队列中的元素两两互质。
从左到右依次进队，如果队列中的元素不互质，则队首元素出队，直至队列中元素变为互质。
记录每次队列长度为si，ans=max{s1,s2,s3…sn};
特别注意i < j，所以ans长度要大于1，如果ans==1，则要输出-1
如下是GCD队列维护的代码详解:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T,n;//数据总数和母串长度
int a[100100];//母串
int flag[1000100];//筛法求质数
int p[1000100],p_cnt=0;//统计质数
int fac[1000100];//fac[i]表示i的最小质数的序号,例如fac[i]==1,表示p[1]即2(方便分解质因数)
int num[100100];//子串中所有质因数的序号及个数
void prepare()
{//欧拉线性筛
memset(flag,0,sizeof(flag));
for(int i=2;i<=1e6;i++)
{
if(!flag[i])p[++p_cnt]=i,fac[i]=p_cnt;
for(int j=1;j<=p_cnt;j++)
{
if(p[j]*i>1e6)break;
flag[p[j]*i]=1;
fac[p[j]*i]=j;
if(i%p[j]==0) break;
}
}
return ;
}
int gcd(int a,int b)
{//辗转相除法求最大公因数
if(b!=0) return gcd(b,a%b);
return a;
}
void del(int x)
{//删除队首元素以及减去其所有质因数
while(x>1)
{
num[fac[x]]--;
x/=p[fac[x]];
}
return;
}
bool check(int x)
{//检查队列中是否有元素和将要入队元素拥有一样的质因数
//如果有一样，即不互质，删除队首元素
while(x>1)
{
if(num[fac[x]]>0) return 0;
x/=p[fac[x]];//直接除去x的最小质因数
}
return 1;
}
void add(int x)
{//将元素压入队尾并加上其所有质因数
while(x>1)
{
num[fac[x]]++;
x=x/p[fac[x]];
}
return ;
}
int read()
{//数据很大，强烈建议加读入优化
int x=0;
char tmp=getchar();
while(tmp<'0'||tmp>'9')tmp=getchar();
while(tmp>='0'&&tmp<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+tmp-'0',tmp=getchar();
return x;
}
int main()
{
freopen("gm.in","r",stdin);
freopen("gm.out","w",stdout);
prepare();
T=read();
for(int kase=1;kase<=T;kase++)
{
memset(num,0,sizeof(num));//队首为空时不含任何质因数
int Gcd,Lcm=1;//Lcm的长度至少为1,即元素自己
int n;
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=read();
Gcd=a[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
Gcd=gcd(Gcd,a[i]);
if(Gcd==1) Gcd=n;//只有母串的公因数为1,才有实际意义
else Gcd=-1;//否则输出-1
//以上是Gcd
int i=1,j=1;
add(a[1]);//把a[1]及其所有质因数加入队列
while(j<n)
{
while(!check(a[j+1]))del(a[i]),i++;//保证入队元素和原来队列中的所有元素互质
add(a[j+1]);
j++;//入队
Lcm=max(j-i+1,Lcm);//求Lcm的最大长度
}
if(Lcm==1) Lcm=-1;//长度为1，不算子串
//以上是Lcm
printf("Case %d: %d %d\n",kase,Gcd,Lcm);
}
return 0;
}写的不好，如有纰漏，请在下方评论区指出。