算法笔记-回溯法

　　（1）0-1背包问题

　　　思路：构造一个二叉树，每个商品都有两种状态，要或者不要。如果要就在这个节点的左枝挂子节点，如果不要就在右节点挂子节点。如果全部商品都分配完状态之后就回溯，回溯到一个还有其他选择的节点，接着往这个选择发展节点，然后再回溯，然后再往下。。。。直到无路可走，就结束了。

　　　　　　假如限制重量是10，总共有四个商品，重量分别是2, 5, 4, 2 价格分别是6, 3, 5, 4。第一轮的路程如5-11图，第1个商品要，第2个商品要，第3个商品发现装不下了，所以到第3个节点只能走右节点，并且第3个节点的左节点成为死节点，没有发展下去的可能了。第4个商品要，此时已经给所有的商品赋予状态了（要或者不要），记录下此时所有商品的价值和，记为最优价格。接着就开始回溯，如5-13，从节点5先是回溯到节点4（此时购物车有1，2，3选择不要，4肯定是要的，所以没必要再发展4节点的右节点），再到节点3（节点三的左节点是死节点），再到节点2，节点2的右节点是可选的，然后接着按照刚开始的逻辑接着往下走就可以了，等继续走完这一轮，计算最优值，更新下最优值，然后再回溯。。。

　　　　　　剪枝：如果按照上面的逻辑，其实几乎相当于遍历了所有的可能性。如果有4个商品，就会有2的4次方种可能，有些不可能是最优结果的分支直接就剪掉就可以了，比如，如果按照上面的逻辑是会有：1不要2不要3不要4不要这个分支。所以如果发现背包可以把剩下的商品都装入的情况，就直接给剩余的商品赋值为要就可以了。当1不要2不要的时候，3和4可以都装入背包，直接都要就可以了。没必要再走3不要的分支（直接设置成死节点）。或者也可以判断就算把剩余的都加进包里，总价值也小于当前最优值，当前这条路也没必要走了。

　　代码：

 1 <?php
 2 $w = [2, 5, 4, 2];
 3 $v = [6, 3, 5, 4];
 4 $current = getNode(0);
 5 $count = count($w);
 6 list($limit, $best, $cw, $cp, $bestMap, $map) = [10, 0, 0, 0, array(), array()];
 7 $noBack = true;
 8 
 9 while (1) {
10     $node = getNode($current->level + 1, $current);
11     if ($current->level < $count && $noBack) {
12         if ($best >= array_sum(array_slice($v, $current->level)) + $cp) {
13             $current->l = false;                                  //剪枝
14             $current->r = false;
15             $noBack = false;
16         }  elseif (is_object($current->l)|| $current->l === false) {
17             $node->dir = 0;                                        //这种情况是回溯回来的，直接发展右节点就可以了
18             $current->r = & $node;                                 
19         } elseif ($cw + $w[$current->level] <= $limit) {
20             $cw += $w[$current->level];  $cp += $v[$current->level];
21             $node->dir = 1;                                        //1代表左枝，0代表右枝
22             $current->l = & $node;                                 //这种情况代表背包可以装下，所以挂在左节点
23             $map[$current->level] = 1;
24         } else {
25             $node->dir = 0;
26             $current->r = & $node;
27             $current->l = false;                                   //这种情况代表装不下，左节点是死节点，发展右节点
28         }
29         $current = & $node;
30     } else {                                                       //走完一轮，开始回溯
31         if ($cp > $best) {                                         //记录最优值
32             $best = $cp;  $bestMap = $map;
33         }
34         while (1) {                                                //开始回溯
35             $deal = isset($current->dir) ? $current->dir : 0;
36             $current = & $current->p;        
37             if ($current === null) {
38                 break 2;                                          //到头了,结束
39             }
40             if (isset($map[$current->level])) {
41                 unset($map[$current->level]);
42                 $cw -= $w[$current->level] * $deal;               //怎么加的，怎么减回去
43                 $cp -= $v[$current->level] * $deal;   
44             }
45             if ($current->l === null || $current->r === null) {   //存在活结点
46                 $noBack = true;
47                 break;
48             }
49         }
50     }
51     unset($node);
52 }
53 
54 function getNode($level, & $p = null) {
55     $node = new stdClass();
56     $node->level = $level;  $node->p = & $p;
57     $node->l = null; $node->r = null;
58     return $node;
59 }
60 
61 print_r(['map' => $bestMap, 'val' => $best]);

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