新开一个系列，重新复盘分析，真心值得一读：
无人机群编队分析的定位问题 分析与思考-1
无人机群编队分析的定位问题 分析与思考-2
2022年数学建模国赛（A题/B题/C题）评阅要点
文章目录
1. 算法讨论
1.1 定点定角模型的轨迹是圆或圆弧，平面上几个圆可以确定坐标呢？
参见 某乎 问题，或者在 某度 搜一下：
- 【一动点P到两定点的夹角是定值，请问 P 点的运动轨迹是什么？】（https://www.-----.com/question/542665419）
- 【特殊的动点轨迹专题二之到两定点连线夹角问题】（https://zhuanlan.-----.com/p/248497065）
定弦定角，顾名思义，弦是固定的，也就是弦的长度是不变的。定角的意思，是弦所对应的角度大小固定，也就是不变的意思。 根据圆周角定理，我们知道圆周角等于圆心角的一半，那么这个圆周角的顶点不是固定的，它旋转的轨迹是圆或者圆弧。
线段定，角度大小定（因此要求发射源位置无偏差，这很重要）。
1.2 脑筋急转弯：朝三暮四还是朝四暮三？
两定点与动点成一夹角，决定一个圆（圆弧）。能不能确定平面上的一个点？
如果不能的话，至少需要几个点，几个圆？
前问已经证明几个定点可以确定平面上的一个点？
至少要几个定点才能确定一个点的坐标，且只要有几个定点就能确定一个点的坐标？
1.3 1+3 的调整方案？
多读几遍题目，否则很容易误解。
提示：
（1）另外有 9架，“每次”选择 3架。
（2）每次不一定选相同的 3架。
1.4 这个编队很酷，不过也容易误解
提示：
（1）这不是锥形——没错，这句话是提示。
（2）解放东南，如果需要100架，1000架，你的方案还有效吗？也就是说，好的方案不是只针对 10架，15架。
2. 讨论：题目读几遍都不多
2.1 题目第一句话“为避免外界干扰，应尽可能保持电磁静默，少向外发射电磁波信号。”，与问题有没有关系？
- 可以认为没有关系，只是问题背景介绍，用以说明为什么只有少数几架无人机发射信号。
- 也可以认为有关系，“每次选择FY00和圆周上最多 3架无人机发射信号“，为什么说最多 3架呢？2 架行不行？如果 2架也可以，用 2架有什么优点与缺点呢？
2.2 问题第一句话”位于圆心的无人机和编队中另 2架无人机发射信号“。
- 另外 2架是哪 2架？应该理解为读者自行选择和指定的 2架，还是对于任意 2架都应给出通项模型？
- 前者容易一些，后者当然复杂一些。
- 如果可以由读者指定，你认为应该选择哪 2架无人机呢？这个问题在此问不用考虑，但此后是值得思考的。
2.3 “发射信号的无人机位置无偏差”
- 这个条件重要吗？很重要。
- 这句话在 问题1(1) 中，那么该条件适用于哪些问题？其它问题是不是也可以做这样假设，是不是也必须做这样假设？
2.4 “初始时刻的无人机位置略有偏差”
- 是指发射信号的无人机位置有偏差，还是接收信号的无人机位置有偏差，还是都有偏差？
- 发射信号的无人机是否也接收其它无人机的信号？
2.5 “每次最多3架无人机发射信号”
- 为什么要强调“每次”，这与“最多 3架无人机发射信号”有什么不同吗？
2.6 “每次调整的时间忽略不计”
- 这个假设是什么意思？这个问题似乎不涉及时间啊，1秒钟、1分钟甚至 1个小时完成调整，应该没有什么不同吧？
- 其实这个假设很重要。这个假设把问题简化，或者说离散化，从而可以按照回合制进行兵棋推演。
3. 进阶的思考：
3.1 问题的答案是唯一的吗？
不考虑全局最优/局部最优，也不考虑误差精度。问题 1（3） 的答案是唯一的吗？
还是要审题：0# 坐标 (0,0)，1# 坐标 (100,0)，所以就默认这两点为准确点，不需要调整，进而确定其它点唯一的准确位置。
否则，9架飞机在圆周均匀分布，会有无穷多的解。
即便如此，根据 1#-9# 当前位置，计算最大移动距离，也就是说我不认为 0# 是不能动的，也可能获得更小的最大移动距离。什么是最大移动距离，想一想。
3.2 假如只有 3架无人机，都可以发射信号（但每架飞机也只能获得一个夹角信号），可以定位和调整队形吗？
可以，但是要困难一些，而且只能保持队形，不能保持间距，这是比较危险的。
进一步说，3 架无人机都只凭 1个夹角信号，也是可以调整到等边三角形的，但无法控制边长。
因此这是一个不稳定平衡点，很可能等边三角形边长越来越小，最后变成 0，是另一个稳定的平衡点。
提示：这个讨论非常重要！可能在不止一个问题中都有用。不一定是用于解题，但理解这个道理非常重要。
3.3 无人机群（以FY00为例）处于相对静止，或者向某一方向运动，对问题的解答和结果有影响吗？
理论上没有影响，实际上有很大影响。
由于无人机给出了 0# 1# 等初始位置，所以隐含条件处于静止状态，所以不多做讨论。
3.4 什么是 “位置略有偏差”？偏差大小有影响吗？
（1）虽然题目给出了各节点的初始位置，但是“仅根据接收到的方向信息来调整无人机的位置”，因此在调整时不能使用各节点的初始位置，包括自己的初始位置。那么，为什么要给出初始位置？
（2）位置略有偏差，是指发射方还是接收方？或者说，这个条件对于发射方不能缺少，还是对于接收方不能缺少？
（3）位置略有偏差，能否认为该略有偏差的发射源近似处于标准位置？或者在本次调整时这样的近似处理，能不能使误差迭代下降？
（4）位置略有偏差，与调整方案的稳定性、可收敛性有没有关系，是什么关系？
（5）提示，如果没有 “位置略有偏差” 的假设，估计很多同学考虑的方案都是有问题的，即可能不稳定而发散。但给出的初始位置满足 “位置略有偏差” ，一些简单的方案也可以获得正确结果。也许这个提示超纲了，但是提示我们调整方案肯定是有不同层次的，有的只能具有较低的调节能力，而有的则有很强的调节能力。当然，首先考虑满足题目要求就可以了，但不同方案不仅体现不同思想和水平，而且与后续问题有关。
3.5 什么是调整方案？
（1） 已知当前位置，目标位置，划一个箭头，是调整方案吗？
不是。
“仅根据接收到的方向信息来调整无人机的位置”，因此在调整时不能使用各节点的初始位置，包括自己的初始位置。
所以当前位置是未知的。
但由于给出了 0# 1# 等初始位置，所以隐含条件是所有编号无人机的 目标位置是已知的。
（2） 已知当前位置，目标位置，以某一速度运行一定时间，抵达目标位置，行不行？
不行。一是当前位置未知，二是速度、时间都未知，只能使用方向信息。准确地说是只有夹角信息。
（3） 根据夹角调整，但信号源不准确，夹角有误差，怎么办？
“位置略有偏差” 意味着只要调整方案是有效的，无论发射方还是接收方，“略有偏差”都可以不断减小，直到达到预定位置。准确地说是达到预定夹角信号的精度。
如果没有 “位置略有偏差” 的假设，问题将会复杂的多，至少会导致某一类简单的调整方法不可行。
（4） 什么才是完整的调整方案，你能保证这个方案收敛吗？
首先，可以假设发射源处于预定位置，且已知本机预定位置与发射源的方向（或接收的放射源之间的夹角），且已获得当前的本机位置接收的一个或多个夹角信号，容易设计出调整方案，具体说是调整方向。
其次，调整方案要能保证：调整使本机与预定位置的距离缩小，也即夹角误差减小，也即保证算法是收敛的，不会振荡或发散。
这时，就看出问题中“每次调整的时间忽略不计”是什么意思，起什么作用了。
3.6 不谈具体方案，什么才是你认为的最好的方案？
我觉得好的方案，首先是完整的，能解决题目问题的方案。注意”完整的“很重要，上节中其实对于“完整性”已经有很多提示了。你考虑的方案真的是完整的吗？例如，即使你的方案是收敛的，你有没有设置终止条件呢？
其次，好的方案，是某一性能指标较好，这里说的指标就相当于目标函数，最好能达到在该指标下的最优。
什么指标，可以有不同的考虑。例如：（1）可以考虑每次使用尽量少的发射信号源数量，因为”应尽可能保持电磁静默，少向外发射电磁波信号“。（2）可以考虑尽快完成位置调整，虽然问题中没有时间速度，但可以以调姿次数来反映。（3）可以考虑算法的稳定性、收敛性最好，也就是说对于“位置略有偏差” ，可以允许最大的偏差。（4）可以考虑通用性最强，例如对其它队形也可以适用。
无论哪种考虑，都可以说出一番道理。当然，如果通用性强，也许直接就可以得到下一个问题的答案了。
3.7 如何制定总体调整方案？
首先，有几类调整方案？
（1）简单、通用、高效、快速的编队方案
前面已经分析清楚，对于任一无人机，根据预定位置（夹角），和当前获取的若干位置（夹角）信号，都可以按照调姿方案进行调控，并逐渐缩小误差，最终达到预定位置。
因此，显然地，第一类方案，每一无人机都可以同步地、独立地，按照这一方案进行调控，达到预定位置。这样处理有几个好处：（1）完成编队调控速度最快，用时最短；（2）独立调姿，互不干扰，也没有解耦等复杂问题；（3）原则上说，这也是一种通用方案，对于任何规模、任何队形都是适用的。
（2）还会有比简单、通用、高效、快速的方案吗？
一般来说，对于复杂问题，能够找到简单、通用、高效、快速的方案，做梦都要笑醒了，这就是多快好省建设社会主义啊！难道还有比这更好的方案？
是的，简单、通用、高效、快速，也未必是最好的方案，甚至未必是好方案，甚至实践中基本上不会使用。
为什么？这个方案有几个问题：（1）对于夹角信号的精度要求较高，（2）计算比较复杂，使用比较困难；（3）稳定性相对较差，甚至存在碰撞风险；（4）关键点位无人机的故障对编队影响很大。
不展开了，直接说另外的方案吧，就是递推或递归算法。
递推算法，例如等差数列，等比数列，可以逐波次进行定位。例如一排接一排地排队，一个接一个定位，其实这里可以衍生出很多具体实施方案。例如，9=3×3， 5！= 4！+5。
递归算法。例如学校是有学院构成，学院由年级构成，年级由班级构成，班级由组（宿舍）构成，如果这些结构具有相似性，就可以递归实现。具体来说，一个 64×64 的方形矩阵可以分割为 4个 16×16 矩阵，每个 16×16矩阵可以分割为 4×4 矩阵，每个 4×4 矩阵可以分割为 4个 2×2 矩阵。只要我们能建设和管理 2×2矩阵，在一个 4×4 矩阵眼里，每个 2×2 矩阵就是一个子单元，建设和管理的方式完全可以复制。这在军队中很好理解，不就是军-师-旅-团-营-连-排-班-组，三三制嘛！
在本问题中，以及无人机编队实践中，这就是主机-僚机模式，只是僚机可以又是下一级僚机的主机。
在计算中，这个方案也会更简单，特别是针对一些特殊队形，可以更简单方便可靠。
这个思想，是不是比前一个方案更好呢？
（3）还有更好的方案吗？
有的。
3.8 问题有没有问题？
针对本题，有没有严重的问题?
例如，问题 2 能实现吗？有没有可能该问题不可能实现？
怎么可能呢？数模竞赛还会有这样的事？如果细读本文，就会发现我这个问题并不是胡扯。
算了，时间有限，不再瞎扯了。有兴趣的同学，赛后再考虑这个问题，或者再交流吧。
本次更新就写到这里。个人观点，未必正确，请大家批判地阅读。
如果本文对你有帮助，或者你取得了较好的成绩，希望你能私信我表示一下支持，让我分享你的精彩。
就这样了，祝每一位读者成功完赛，取得好成绩！
～～～～～～
【更新结束】
4. 参考文献——不一定有参考价值
[1]邹先雄. 无人机目标无源定位方法研究[D].电子科技大学,2018.
[2]屈小媚,刘韬,谈文蓉.基于多无人机协作的多目标无源定位算法[J].中国科学:信息科学
[3]王仁军. 基于UWB定位的无人机集群系统[D].杭州电子科技大学,2019.
[4]李晓辉,方坤,樊韬,刘佳文,吕思婷.基于支持向量机的无人机定位信号分离算法研究[J].电子与信息学报
5. 规划问题参考例程——以下程序不是问题例程，与问题无关
Python数模笔记-PuLP库（1）线性规划入门 PuLP库（1）线性规划入门
Python数模笔记-PuLP库（2）线性规划进阶 PuLP库（2）线性规划进阶
Python数模笔记-PuLP库（2）线性规划进阶 PuLP库（3）线性规划实例