什么是拓扑排序

在图论中，拓扑排序是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

每个顶点出现且只出现一次。
若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

并不是所有图都存在拓扑排序，拓扑排序在图中也不是唯一的(通常，一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列)。

不含环路的有向图必包含入度为零的顶点—因此一定存在拓扑排序

拓扑排序的算法实现

入度为 0 的顶点 m（及其关联边）从图 G 中取出，则剩余的 G’依然是有向无环图，故其拓扑排序也必然存在。从递归的角度看，一旦得到了 G’ 的拓扑排序，只需将 m 作为最大顶点插入，即可得到 G 的拓扑排序。如此，我们已经得到了一个拓扑排序的算法。

这里写图片描述

从 DAG 图中选择一个没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。
从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

于是，得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。

拓扑排序的时间复杂度为O(V+E)，V代表顶点，E代表边。

#include<iostream>
#include <list>
#include <queue>
using namespace std;

/************************类声明************************/
class Graph
{
    int V;             // 顶点个数
    list<int> *adj;    // 邻接表
    queue<int> q;      // 维护一个入度为0的顶点的集合
    int* indegree;     // 记录每个顶点的入度
public:
    Graph(int V);                   // 构造函数
    ~Graph();                       // 析构函数
    void addEdge(int v, int w);     // 添加边
    bool topological_sort();        // 拓扑排序
};

/************************类定义************************/
Graph::Graph(int V)
{
    this->V = V;//初始化顶点个数
    adj = new list<int>[V];//为邻接表开辟空间

    indegree = new int[V];  // 入度全部初始化为0
    for(int i=0; i<V; ++i)
        indegree[i] = 0;
}

Graph::~Graph()
{
    delete [] adj;
    delete [] indegree;
}

void Graph::addEdge(int v, int w)//初始化邻接表
{
    adj[v].push_back(w); 
    ++indegree[w];//初始化入度
}

bool Graph::topological_sort()
{
    for(int i=0; i<V; ++i)
        if(indegree[i] == 0)
            q.push(i);         // 将所有入度为0的顶点入队

    int count = 0;             // 计数，记录当前已经输出的顶点数 
    while(!q.empty())
    {
        int v = q.front();      // 从队列中取出一个顶点
        q.pop();

        cout << v << " ";      // 输出该顶点
        ++count;
        // 将所有v指向的顶点的入度减1，并将入度减为0的顶点入栈
        list<int>::iterator beg = adj[v].begin();
        for( ; beg!=adj[v].end(); ++beg)
            if(!(--indegree[*beg]))
                q.push(*beg);   // 若入度为0，则入栈
    }

    if(count < V)
        return false;           // 没有输出全部顶点，有向图中有回路
    else
        return true;            // 拓扑排序成功
}

参考文章：

拓扑排序（Topological Sorting）_神奕的专栏-CSDN博客_拓扑排序

图的拓扑排序及其应用_不能说的秘密的博客-CSDN博客_拓扑排序的应用

拓扑排序的算法实现

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