NKOJ4326 宝藏 [状态压缩]

题目描述

藏宝图上标出了 $n$ 个深埋在地下的宝藏，也给出了这 $n$ 个宝藏之间可供开发的 $m$ 条道路和它们的长度 $v$ 。

赞助商将免费为你打通一条从地面到某个宝藏的通道，通往哪个宝藏则由你来决定。

你还需要考虑如何开凿宝藏之间的道路，新开发一条道路的代价是： $L×K$

$L$ 代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏到这条道路起点经过的宝藏的数量。

请你编写程序选定由赞助商打通的宝藏和之后开凿的道路，使得工程总代价最小，并输出这个最小值。

$1≤n≤12，0≤m≤1000，v≤500000$

解法

这道题真劲，反正我自己肯定想不出来。而且即便是看了题解之后写代码也写了很久…

首先有一个比较显然的结论是这些道路会构成一棵树。树的特点是任意两点之间有且只有一条路径相连。由于没有重复开凿的道路，所以会构成树。

既然是树，那么 $K$ 就比较好解决了， $K$ 是这棵树的层数。但是 $L×K$ 并不是按照层数递增的，所以：

设定状态f[i][s]表示当前选到了第i层，目前已选宝藏的集合为s.

如果当前要选k集合内的宝藏，有f[i+1][j|k]=f[i][j]+minCost(k,j)*(i+1). minCost(k,j)表示k集合到集合j中的所有宝藏的最小代价。

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最后只需要依次把每个宝藏作为根跑一次，选出最小值。

#include<iostream>   
#include<cstdio>   
#include<cstring>   
#include<cmath> 
#define Inf 1e9
#define ll long long  
using namespace std;   
ll n,m;   
ll f[20][1<<13],Map[20][20],Sum[1<<13][1<<13],dis[20][1<<13];
//Sum[i][j]是minCost的打表数组
ll Lowbit(ll x){return x&(-x);} 
void Get(){ 
    ll nn=(1<<n)-1; 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<n);j++)dis[i][j]=Inf;
    for(ll i=1;i<=n;i++) 
        for(ll s=0;s<=nn;s++) 
            for(ll j=0;j<n;j++) 
                if(s&(1<<j))dis[i][s]=min(dis[i][s],Map[i][j+1]); 
    for(ll s1=0;s1<=nn;s1++){ 
        ll t=nn^s1; 
        for(ll s2=t;s2;s2=(s2-1)&t) 
            for(ll i=0;i<n;i++)
                if(s1&(1<<i))Sum[s1][s2]+=dis[i+1][s2];
    }
} 
ll Operate(){   
    ll nn=(1<<n)-1,Ans=Inf;   
    for(ll i=1;i<=n;i++)   
        for(ll s1=0;s1<=nn;s1++){   
            if(f[i-1][s1]>=Inf)continue; 
            ll t=nn^s1; 
            for(ll s2=t;s2;s2=(s2-1)&t) 
                f[i][s1|s2]=min(f[i][s1|s2],f[i-1][s1]+i*Sum[s2][s1]); 
        }   
    for(ll i=0;i<=n;i++)Ans=min(Ans,f[i][nn]);  
    return Ans;  
}   
/*
5 4 
1 2 3 
1 3 3 
1 4 3 
1 5 3 
*/
int main(){   
    scanf("%lld%lld",&n,&m);   
    memset(Map,64,sizeof(Map));   
    for(ll i=1;i<=m;i++){   
        ll x,y,v;   
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&v);   
        Map[x][y]=min(Map[x][y],v);  
        Map[y][x]=Map[x][y];   
    } 
    ll Ans=Inf;Get(); 
    for(ll i=1;i<=n;i++){   
        memset(f,64,sizeof(f));  
        f[0][1<<(i-1)]=0;//  
        Ans=min(Ans,Operate());  
    }   
    printf("%lld",Ans);return 0;   
}