一什么是赫夫曼树
赫夫曼树是指带权路径最短的树，从根结点到叶子结点所经过的结点数(不包括根结点，包括叶子结点)叫路径，如果给叶子结点赋予权值，那么路径和权值的乘积就是访问该叶子结点的代价，对于一棵树来讲，使访问所有的叶子结点的代价最小的树，就是赫夫曼树。
比如下面三个图:
可以计算它们的带权路径长度，分别为
(a) 图是36
(b) 图是46
© 图是 35
所以c图是赫夫曼树。
二如何构造赫夫曼树
构造一棵赫夫曼树的步骤其实不复杂，简单来讲就是权值大的尽量靠近根结点，而且是越大的越靠近。这样得出的效果是权值越大的结点，可以经过相对较少的距离到达，从而使程序的效率提高。这里的所说的效率，即包括时间上也包括空间上，后面我会讲到两个应用例子，分别就是一个时间上的优化，一个空间上的优化。
赫夫曼本人给了一个基本的算法，如下:
(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的集合F(每棵树仅有一个根结点)；
(2) 在这些树中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
(3)从F中删除选取的两棵树，并将新树加入F
(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树
三应用举例
了解的具体的算法之后，必须要知道它的应用场景，不然也就只能停留在理论阶段了。这里给出两个应用的例子。
比如统计一次考试中的学生成绩，划分为5个等级，60分以下为不及格，60到70之间是及格，70到80之间是中等，80到90之间是良好，90到100之间是优秀。本次考试各个阶段学生所占比例如下:
分数 0-59 60-69 70-79 80-89 90-100
比例 0.05 0.15 0.40 0.30 0.10
假设有10000个学生，然后我们用下面的代码来实现统计：
if (a < 60) b = “不及格”;
else if (a < 70) b = “及格”;
else if (a < 80) b = “中等”;
else if (a < 90) b = “良好”;
else b = “优秀”;
代码对应的树结构如下:
这样一共需要比较30000多次。上面的代码不管你的分数是多少，总要从小于60开始比较，比如一个学生的成绩是85，他要被比较四次才能有结果，不幸的是, 大部分学生的成绩都是在70到90之间，都要经过至少三次以上的比较才能完成。
如果我们能把这个占大多数人的分数区间放在前面，不就可以大大减少比较的次数了吗？先按照前面章节讲的步骤构造一棵赫夫曼树，如下图:
对应的代码是:
if (a >= 70 && a < 80) b = “中等”;
else if (a >= 80 && a < 90) b = “良好”;
else if (a >= 60 && a < 70) b = “及格”;
else if (a < 60) b = “不及格”;
else b = “优秀”;
这样比较的次数变为22000次，大大提高效率。
再来一个应用的例子。
电报传送时，一般要把字符转成二进制的编码，比如一串字符, “ABACCDA”, 四种字符，可以用二位表示一种，比如A是00, B是01, C是10, D是11，那么电报发送的就是00010010101100，对方收到电报时可以两位一组解出来。
上面的方法没有什么问题，但是一般传送电报肯定希望能用最短的长度传递尽量多的信息，是不是还可以优化呢。当然，我们用不同长度的编码来表示这些字符，出现次数多的字符尽可能的短，出现次数少的可以偏长一些，这样可以构造出一个比上面更短的电报编码。
上面的字符信息，A和C现的次数较多，分别为两次和三次，B和D都是一次。按照上面的方法来构造一棵赫夫曼树，如下:
规则是左0右1, 这样，A是0, B是110, C是10, D是111, 最后的编码是0110010101110, 一共是13个bit位，原来是14个bit位，确实变短了。
再来看看电报接收的一方收到这串编码能不能解出来，试一下发现可以正常解析，不会产生歧义。这是因为任意一个字符的编码都不是另一个字符的编码前缀。这也是二叉树本身自带的一个功能，我们通过这种左0右1的方式得到的编码就可以达到这种效果。
来继续看看代码实现。
定义它的存储结构，典型的二叉树，只是多了一个权值。
typedef struct
{
int weight;
int parent, lchild, rchild;
}HTNode, *HuffmanTree;
typedef char **HuffmanCode;
HuffmanCode是一个字符串数组，用来保存叶子结点最终的编码结果。
存储空间是多少呢? 从前一章讲的构造赫夫曼树的过程可以找出规律，n个叶子结点所构造的赫夫曼树共有2n-1个结点，这就是我们要分配的空间。
int m = 2 * n - 1;
*HT = (HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));//多分配一个空间，0号不用
函数的接口形式如下:
bool HuffmanCoding(HuffmanTree *HT, HuffmanCode *HC, int *w, int n)
HT是最终构造的赫夫曼树，是个输出参数，HC也是个输出函数，就是个字符串数组，输出最终的编码。W存放n个叶子结点的权值，当然都是大于0的整数，n是叶子结点的个数, 最后这两个都是输入参数。
构造赫夫曼树的过程代码其实很简单:
//构建赫夫曼树
for (i = n + 1; i <= m; i++)
{
if (!Select(*HT, i - 1, &s1, &s2)) return false;
(*HT)[s1].parent = i;
(*HT)[s2].parent = i;
(*HT)[i].lchild = s1;
(*HT)[i].rchild = s2;
(*HT)[i].weight = (*HT)[s1].weight + (*HT)[s2].weight;
}
select函数从HT[1…nEnd]中选出parent为0, 并且weight最小的两个结点，序号分别由s1 和 s2返回，它的实现如下:
static bool Select(HuffmanTree HT, int nEnd, int *s1, int *s2)
{
int i = 0;
int nComp = 0;
nComp = MAX;
*s1 = MAX;
*s2 = MAX;
//第一轮循环，找到最小的给s1
for (i = 1; i <= nEnd; i++)
{
if ((HT[i].weight < nComp) && (HT[i].parent == 0))
{
nComp = HT[i].weight;
*s1 = i;
}
}
//第二轮循环，找到次小的给s2
nComp = MAX;
for (i = 1; i <= nEnd; i++)
{
if ((HT[i].weight < nComp) && (i != *s1) && (HT[i].parent == 0))
{
nComp = HT[i].weight;
*s2 = i;
}
}
if ((*s1 == MAX) || (*s2 == MAX))
{
return false;
}
return true;
}
编码的结果是保存在HC中的，为了方便采用逆向保存的形式，即从叶子到根求编码，然后输出时就是正向的了。
for (i = 1; i <= n; i++)
{
start = n - 1;
for (c = i, f = (*HT)[i].parent; f != 0; c = f, f = (*HT)[f].parent)
{
//左0右1
if ((*HT)[f].lchild == c)
{
cd[--start] = '0';
}
else
{
cd[--start] = '1';
}
}
(*HC)[i] = (char *)malloc((n - start));
strcpy((*HC)[i], &cd[start]);
}