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题意
求 到 的最短路,最短路上只计算前 大的边。
题解
这道题的操作很骚,算法如下:
遍历每条边
,并把图中所有的边的权值都减去该边的权值
,如果变成负数,那么就置
,并将跑出来的值
就是这次的答案,对所有的答案取最小值,并且与原始图的
取最小值,得到的结果就是最终答案。
正确性证明:
1. 假设最终的最短路中有大于等于
条边,并设第
大的边长度为
。
那么该路径上所有的边减去
,之后跑最短路得到
,那么
就是该路径的“长度”,就是最终答案,并且这个数一定会出现在比较中。
而对于其他的路径,如果减去的
不是该路径的第
大的边的时候,该路径的值
一定不会比该路径的“长度”小,出现在比较中不会对最终答案造成影响。
2. 假设最短路中有小于k条边,那么原图中跑最短路的
一定是最小的。
注意,此题用spfa超时,用dijkstra也有稍微优化一下才行。
代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 3007;
vector<int> G[maxn];
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> pii;
const ll inf = 1e18;
int U[maxn],V[maxn];long long W[maxn];
int n,m,k;
int vis[maxn];ll dis[maxn];
#define pr(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl
/*
ll spfa(ll x){
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i = 1;i <= n;++i) dis[i] = inf;
queue<int> Q;
vis[1] = 1;
Q.push(1);
dis[1] = 0;
while(!Q.empty()){
int u = Q.front();Q.pop();
vis[u] = 0;
for(auto e : G[u]){
int v = U[e]^V[e]^u;
ll w = W[e] - x;
w = max(0ll,w);
if(dis[v] > dis[u] + w){
if(!vis[v]) Q.push(v);
dis[v] = dis[u] + w;
vis[v] = 1;
}
}
}
return dis[n];
}
*/
ll dij(ll x){
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > Q;
for(int i = 1;i <= n;++i) dis[i] = inf;
dis[1] = 0;
Q.push({0,1});
while(!Q.empty()){
pii p = Q.top();Q.pop();
int u = p.second;
if(p.first > dis[u]) continue;
for(int e : G[u]){
int v = u ^ U[e] ^ V[e];
ll w = W[e] - x;
w = max(0ll,w);
if(dis[v] > dis[u] + w){
dis[v] = dis[u] + w;
Q.push({dis[v],v});
}
}
}
return dis[n];
}
int main(){
cin>>n>>m>>k;
for(int i = 0;i < m;++i){
int u,v;long long w;
scanf("%d %d %lld",&u,&v,&w);
U[i] = u,V[i] = v,W[i] = w;
G[u].push_back(i);
G[v].push_back(i);
}
ll ans = dij(0);
for(int i = 0;i < m;++i){
ll res = dij(W[i])+k*W[i];
ans = min(ans,res);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}