数据结构与算法的基本概念

数据结构的基本概念

一、基本概念及术语：

1.数据：

数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合。
数据是计算机程序加工的原料。

2.数据元素、数据项：

数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理。一个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。
例如，学生记录就是一个数据元素，它有学号、姓名、性别等数据项组成。

3.数据对象、数据结构：

数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。
数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。数据结构包括三方面的内容：逻辑结构、存储结构(物理结构)和数据的运算。数据的逻辑结构和存储结构是密不可分的两个方面。

4.数据类型：

数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称。

①原子类型：其值不可再分的数据类型。

例如：int类型，
值的范围：-2147483648 ~ 2147483647，
可进行的操作：加减乘除、模运算…

②结构类型：其值可以再分解为若干成分的数据类型。

例如：结构体，

struct Student{
    
    
	int id;
	string name;
	//others
};

③抽象数据类型：抽象数据组织及与之相关的操作。

抽象数据类型(ADT)是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作。抽象数据类型的定义仅取决于它的一组逻辑特性，而与其在计算机内部如何表示和实现无关，即不论其内部结构如何变化，只要他的数学特性不变，都不影响其外部的使用。通常用(数据对象、数据关系、基本操作集)这要的三元组来表示抽象数据类型。

二、数据结构三要素：

1.逻辑结构：

逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据。它与数据的存储无关，是独立于计算机的。

①集合：结构中的数据元素同属于一个集合，别无其它关系。

②线性结构：结构中的数据元素之间只存在一对一的关系。

③树形结构：结构中的数据元素存在一对多的关系。

④图状结构或网状结构：结构中的元素存在多对多的关系。

2.存储结构(物理结构)：

存储结构是指数据结构在计算机中的表示(又称映像)，也称物理结构。它包括数据元素的表示和关系的表示。数据的存储结构是用计算机语言实现的逻辑结构，它依赖于计算机语言。

①顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中。元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。

其优点是可以实现随机存取，每个元素占用最少的存储空间；缺点是只能使用相邻的一整块存储单元，因此可能产生较多的外部碎片。

②链式存储：逻辑上相邻的元素在物理位置上可以不相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。

其优点是不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元；缺点是每个元素因存储指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存取。

③索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表，索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是(关键字，地址)。

其优点是检索速度快；缺点是增加附加的索引表后会占用较多的存储空间。另外，在增加和删除数据时，要修改索引表，因而会花费较多的时间。

④散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称Hash存储。

其优点是检索、增加和删除节点的操作都很快；缺点是若散列函数不好，则可能会出现元素存储单元的冲突，而解决冲突会增加时间和空间开销。

注：

①若采用顺序存储，则各个数据元素在物理上必须是连续的；若采用非顺序结构，则各个数据元素在物理上是可以离散的。
②数据的存储结构会影响存储空间分配的方便程度。
③数据的存储结构会影响对数据运算的速度。

3.数据的运算：

施加在数据上的运算包括运算的定义和实现。运算的定义是针对逻辑结构的，指出运算的功能；运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤。

易错题整理：

一、单项选择题：

1.以下属于逻辑结构的是( )。
A.顺序表。
B.哈希表。
C.有序表。
D.单链表。

2.链式存储设计时，节点内的存储单元地址( )。
A.一定连续。
B.一定不连续。
C.不一定连续。
D.部分连续，部分不连续。

二、综合应用题：

3.对于不同的数据结构，逻辑结构或物理结构一定不相同吗？
4.试举一例，说明对相同的逻辑结构，同一种运算在不同的存储方式下实现时，其运算效率不同。

答案与解析：

1.C
顺序表、哈希表和单链表表示几种数据结构，既描述逻辑结构，又描述存储结构和数据运算。而有序表是指关键字有序的线性表，可以链式存储也可以顺序存储，仅描述元素之间的逻辑关系，故它属于逻辑结构。
2.A
链式存储设计时，各个不同结点的存储空间可以不连续，但结点内的存储单元地址必须连续。
3.对于两种不同的数据结构，它们的逻辑结构和物理结构完全有可能相同。比如二叉树和二叉排序树，二叉排序树可以采用二叉树的逻辑表示和存储方式，前者通常用于表示层次关系，而后者通常用于排序和查找。虽然他们的运算都有建立树、插入结点、删除结点和查找结点等功能，但对于二叉树和二叉排序树，这些运算的定义时不同的。以查找结点为例，二叉树的世界复杂度为O(n)，
而二叉排序树的时间复杂度为O(log2n)。
4.线性表既可以用顺序存储方式实现，又可以用链式存储方式实现。在顺序存储方式下，在线性表中插入和删除元素，平局要移动近一半的元素，时间复杂度为O(n)；而在链式存储方式下，插入和删除的时间复杂度都是O(1)。

算法和算法评价

一、算法的基本概念

1.定义：

算法(Algorithm)是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作。
程序=数据结构+算法。数据结构是要处理的信息。算法是处理信息的步骤。

2.特性：

①有穷性。

一个算法(对任何合法的输入值)必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都可以在有穷时间结束。

注：算法必须是有穷的，而程序可以是无穷的。

②确定性。

算法中每条指令必须有确切的含义，读者理解时不会产生二义性，即对于相同的输入只能得出相同的输出。

③可行性。

一个算法是可行的，即算法中描述的操作都是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。

④输入。

一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合。

⑤输出。

一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有着某种特定关系的量。

3."好"算法的特质：

①正确性。

算法应能正确地解决求解问题。

②可读性。

算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解。

注：算法可以用伪代码描述，甚至用文字描述，重要的是"无歧义"地描述出解决问题的步骤。

③健壮性。

输入非法数据后，算法能适当地做出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。

④效率与低存储量需求。

效率是指算法执行的时间，存储量需求是指算法执行过程中所需要j的最大存储空间，这两者都与问题的规模有关。

二、算法效率的度量

1.时间复杂度：

一个语句的频度是指该语句在算法中被重复执行的次数。算法中所有语句的频度之和记为T(n)，他是该算法问题规模n的函数，时间复杂度主要分析T(n)的数量级。

最坏时间复杂度是指在最坏的情况下，算法的时间复杂度。

平均时间复杂度是指所有可能输入实例在等概率出n现的情况下，算法的期望运行时间。

最好时间复杂度是指在最好的情况下，算法的时间复杂度。

一般总是考虑最坏情况的时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长。

常用的渐进时间复杂度为

O(1)<O(log2n)<O(n)<O(nlog2n)<O(n²)<O(n³)<O(2^ n) <O(n!)<O(n^n)

2.空间复杂度：

算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它是问题规模n的函数。渐进空间复杂度也被称为空间复杂度。
算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常量，即O(1)。

易错题整理：

一、单项选择题：

1.设n是描述问题规模的非负整数，下面的程序片段的时间复杂度是( )。

x=2;
while(x<n/2)
x=2*x;

A.O(log2n)
B.O(n)
C.O(nlog2n)
D.O(n²)
2.已知两个长度分别为m和n的升序链表，若将它们合并成为一个长度为m+n的降序列表，则最坏情况下的时间复杂度是( )。
A.O(n)
B.O(mn)
C.O(min(m,n))
D.O(max(m,n))
3.下列函数的时间复杂度是( )。

int func(int n){
    
    
	int i=0,sum=0;
	while(sum<n) sum += ++i;
	return i;
}

A.O(log2n)
B.O(n^(1/2))
C.O(n)
D.O(n*log2n)
4.程序段如下:

for(i=n-1;i>1;i--)
	for(j=1;j<i;j++)
		if(A[j]>A[j+1])
		A[j]与A[j+1]对换；

其中n为正整数，则最后一行语句的频度在最坏的情况下是( )。
A.O(n)
B.O(n*log2n)
C.O(n³)
D.O(n²)

5.以下算法中加下划线的语句执行次数为( )。

int m=0,i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
	for(j=1;j<=2*i;j++)
		m++;

A.n*(n+1)
B.n
C.n+1
D.n²

6.下面说法中，错误的是( )。
Ⅰ算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间
Ⅱ在相同规模n下，复杂度为O(n)的算法在时间上总是优于复杂度为O(2^n)的算法。
Ⅲ所谓的时间复杂度，是指最坏情况下估算算法执行时间的一个上界。
Ⅳ同一个算法，实现语言的级别越高，执行的效率越低。

A.Ⅰ
B.Ⅰ，Ⅱ
C.Ⅰ，Ⅳ
D.Ⅲ

二、综合应用题：

7.一个算法所需时间由下述递归方程表示。试求出该算法的时间复杂度的级别,n是问题的规模，为简单起见，设n是2的整数次幂。

n=1:T(n)=1;
n>1:T(n)=2T(n/2)+n;

答案与解析：

1.A.
在程序中，执行频率最高的语句为x=2*x。这一语句执行了t+1次，则有2^t+1<n/2，log2(n/2)-1=log2n-2，所以T(n)=O(log2n)。
2.D.
两个升序链表合并，两两比较表中的元素，每比较一次，确定一个元素的链接位置。当一个链表比较结束后，将另一个链表的剩余元素插入即可。最坏的情况是两个链表中的元素依次进行比较，时间复杂度为O(max(m.n))。
3.B.
在程序中，sum += ++i 相当于 ++i；sum=sum+i。
进行到第k次循环时，sum=(1+k)*k/2。需要进行O(n^1/2)次循环，这也是该函数的时间复杂度。
4.D.
当所有相邻元素都是逆序时，则最后一行的语句每次都会执行。
第二层for循环执行i-1次；
第一次for循环从n-1到2，一共n-2项，首项为n-2，末项为1，等差数列求和得 (n-2)(n-1)/2，时间复杂度为O(n²)。
5.A
第二层for循环执行2i次；
第一次for循环从1到n，一共n项，首项为2，末项为2n，等差数列求和为n(2+2n)/2=n(n+1)。
6.A.
Ⅰ算法原地工作是指算法所需的辅助空间是常量。
Ⅱ题中是指算法的时间复杂度，不要想当然地认为是程序的具体执行时间而赋予n一个特殊的值。时间复杂度为O(n)的算法必然总是优于时间复杂度为O(n²)的算法。
Ⅲ时间复杂度总是考虑最坏情况下的时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长。
Ⅳ教材原话，对于这种在语言层次的效率问题，建议不要以特例程序来解释其优劣，该结论肯定是没有任何错误的。
7.如图所示：