逻辑悖论的几个层次

本贴深入分析基本的逻辑悖论.

0. 悖论描述

张三说: 我在说谎. (I’m lying.)
问题: 这个命题的取值为真 (true) 还是假 (false)?

1. 层次 1: 悖论的产生

如果该命题为真, 则张三是个说谎的人, 但说谎的人怎么承认自己说谎 (说了句真话) 呢? 矛盾.
如果该命题为假, 则张三是个诚实的人, 但诚实人怎么会说自己说谎呢? 矛盾.
综上所述, 该命题既不能为真, 也不能为假, 因此是一个悖论.

2. 层次 2: 描述的转换

将该悖论转换成如下.
张三说: 我是骗子. (I am a liar.)
本质上, 这个悖论并没有发生什么改变. 该它与前者的区别在于: 前者只有一个主体和一个动词, 而后者是两个主体 (名词). 这为我们后面建模提供了方便.

3. 层次 3: 用符号表示

令 $A$ 表示张三, $\text{T}$ (true) 表示诚实人, $\text{F}$ (false) 表示骗子.
则原命题表示为 $A=\text{F}$. 这里的等号是逻辑运算, 判断是否相等.
如果该命题为真, 即 $A=\text{F}$ 的取值为 $\text{T}$, 则 $A$ 的取值为 $\text{F}$, 张三是个骗子, 但骗子怎么承认自己说谎 (说了句真话) 呢? 矛盾.
如果该命题为假, 即 $A=\text{F}$ 的取值为 $\text{F}$, 则 $A$ 的取值为 $\text{T}$, 张三是个诚实人, 但诚实人怎么怎么会说自己说谎呢? 矛盾.

4. 层次 4: 断言与主体的分离

令 $A_P$ 表示张三这个人的品德. $A_T$ 表示张三的具体言行.
如前所述, 原命题表示为: $A_T=\text{F}$. 另一方面, 我们要求一个人的品德与言行一致, 即:
$A_P=A_T$ 且 $A_P=(A_T=\text{F})$. 它们能同时成立吗?
如果前述的命题为真, 即 $A_T=\text{F}$ 的取值为 $\text{T}$, 则 $A_T$ 与 $A_P$ 的取值为 $\text{F}$, $A_P=(A_T=\text{F})$ 的取值为 $\text{F}$.
如果前述的命题为假, 即 $A_T=\text{F}$ 的取值为 $\text{F}$, 则 $A_T$ 与 $A_P$ 的取值为 $\text{T}$, $A_P=(A_T=\text{F})$ 的取值为 $\text{F}$.
即张三的品德与言行不可能一致, 矛盾.

5. 层次 5: 真值表

真值表是《离散数学》课程涵盖的内容. 用它来分析最合适了.

$A_T$	$A_P$	$A_T=\text{F}$	$A_P=(A_T=\text{F})$
$\text{T}$	$\text{T}$	$\text{F}$	$\text{F}$
$\text{F}$	$\text{F}$	$\text{T}$	$\text{F}$

从这里看出, 如果要求品德与言行一致, 即 $A_P=A_T$, 则最后一列的一定为 F.

6. 层次 6: 命题的层次

原命题表示为: $A_T=\text{F}$, 它是一个悖论.
真值表中最后一列表述为: $A_P=(A_T=\text{F})$, 它是一个恒为 $\text{F}$ 的表达式.
换言之, 如果我们把命题上升一个层次, 悖论就不复存在.

7. 层次 7: 对偶的悖论

李四说: 我说的是真话. (I’m telling the truth)
如果该命题为真, 则李四是个诚实的人, 诚实人说自己诚实, 没毛病.
如果该命题为假, 则李四是个不诚实的人, 不诚实人的说自己诚实 (其实也是一种欺骗), 没毛病.
综上所述, 该命题既可为真, 也可为假, 因此也是一个悖论.

小结

问题理解、描述转换、符号表示、主体分解、真值表使用、对偶构造. 从简单烧脑到专业招数, 你学会了吗?

习题

1. 以上数学表达式中, 有个地方换个符号, 使得表达式更短, 把它找出来.
2. 对于层次 2, 雪阳同学认为: “表述上有些问题. 独立出陈述的人这个主体, 就会让悖论没有那么相悖. 悖论需要在一个更有局限的情况下.” 你认为应该如何解决这个问题?
3. 分析 I’m telling the truth.
4. 受真值表的启发, 你能构造出更多的悖论吗 (我觉得应该可以, 但还没试过)?
5. 在一个小岛上, 理发师是给那些不给自己理发的人理发的人. 请分析这个集合悖论.