文章目录

一、理论基础
二、案例背景
三、MATLAB程序
四、参考文献

一、理论基础

1、路径规划算法

路径规划算法是指在有障碍物的工作环境中寻找一条从起点到终点、无碰撞地绕过所有障碍物的运动路径。路径规划算法较多，大体上可分为全局路径规划算法和局部路径规划算法两大类。其中，全局路径规划算法包括位形空间法、广义锥方法、顶点图像法、栅格划归法；局部路径规划算法主要有人工势场法等。

2、MAKLINK图论理论

MAKLINK图论可以建立二维路径规划的空间模型，其通过生成大量的MAKLINK线构造二维路径规划可行空间。MAKLINK线定义为两个障碍物之间不与障碍物相交的顶点之间的连线，以及障碍物顶点与边界相交的连线。典型MAKLINK图形如图1所示。
在这里插入图片描述

图1 MAKLINK图形

在MAKLINK图上存在 $l$ 条自由连接线，连接线的中点依次为 $v_1,v_2,\cdots,v_l$ ，连接所有MAKLINK线的中点加上始点 $S$ 和终点 $T$ 构成用于初始路径规划的无向网络图，如图2所示。
在这里插入图片描述

图2 无向网络图

3、蚁群算法

请参考这里。

4、dijkstra算法

dijkstra算法是典型的单源最短路径算法，用于计算非负权值图中一个节点到其他所有节点的最短路径，其基本思想是把带权图中所有节点分为两组，第1组包括已确定最短路径的节点，第2组为未确定最短路径的节点。按最短路径长度递增的顺序逐个把第2组的节点加入第1组中，直到从源点出发可达的所有节点都包含在第1组中。
dijkstra算法流程如下：
（1）初始化存放未确定最短路径的节点集合 $V$ 和已确定最短路径的节点集合 $S$ ，利用带权图的邻接矩阵arcs初始化源点到其他节点最短路径长度 $D$ ，如果源点到其他节点有连接弧，对应的值为连接弧的权值，否则对应的值取为极大值。
（2）选择 $D$ 中的最小值 $D$ [ $i$ ], $D$ [ $i$ ]是源点到点 $i$ 的最短路径长度，把点 $i$ 从集合 $V$ 中取出并放入集合 $S$ 中。
（3）根据节点 $i$ 修改更新数组 $D$ 中源点到集合 $V$ 中所有节点 $k$ 对应的路径长度值。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）的操作，直至找出源点到所有节点的最短路径为止。

二、案例背景

1、问题描述

采用蚁群算法在200×200的二维空间中寻找一条从起点 $S$ 到终点 $T$ 的最优路径，该二维空间中存在4个障碍物，障碍物1的4个顶点的坐标分别为（40 140；60 160；100 140；60 120），障碍物2的4个顶点分别为（50 30；30 40；80 80；100 40），障碍物3的4个顶点分别为（120 160；140 100；180 170；165 180），障碍物4的3个顶点分别为（120 40；170 40；140 80），其中点 $S$ 为起点，起点坐标为（20,180）；点 $T$ 为终点，终点坐标为（160,90）。二维规划空间如图3所示。
在这里插入图片描述

图3 二维规划空间

2、算法流程

算法流程如图4所示。其中，空间模型建立采用MAKLINK图论算法建立路径规划的二维空间，初始路径规划利用dijkstra算法规划出一条从起点到终点的初始路径，初始化算法参数，信息素更新采用根据蚂蚁搜索到的路径的长短优劣更新节点的信息素。
在这里插入图片描述

图4 算法流程

3、蚁群算法实现

(1). 解的表示

利用dijkstra算法在MAKLINK图上产生依次通过路径节点 $S,P_1,P_2,\cdots,P_d,T$ 的一条次最优路径。节点对应的自由链接线依次为 $L_i(i=1,2,\cdots,d)$ 。设 $P_i^{(0)}$ 和 $P_i^{(1)}$ 为 $L_i$ 的两个端点，链路上的其他点表示方法为 $P_i(h_i)=P_i^{(0)}+(P_i^{(1)}-P_i^{(0)})×h_i,\quad h_i∈[0,1],\quad i=1,2,\cdots,d\tag{1}$ 其中， $h_i$ 为比例参数； $d$ 为链路划分节点数。
由式（1）可知，通过dijkstra算法得到路径经过的自由链接线时，只要给定一组参数 $(h_1,h_2,\cdots,h_d)$ ，就可以得到一条从起点到终点的新路径，蚁群算法的解即表示为 $(h_1,h_2,\cdots,h_d)$ 。
采用蚁群算法时需要离散化工作空间，由于初始化选择的自由链接线长短不一，对链接线的划分采用固定距离划分法，设定划分长度为 $\zeta$ ，每条自由链接线 $L$ 的划分数为 $\pi_i=\begin{cases} Int(L_i/\zeta), & \text {$Int(L_i/\zeta)$为偶数} \\ Int(L_i/\zeta)+1, & \text{$Int(L_i/\zeta)$为奇数} \end{cases}\tag{2}$ 当 $Int(L_i/\zeta)$ 为奇数时，路径中点也是一个等分点，划分数为 $\pi_i+1$ 。由于链接线 $L_i$ 被 $\pi_i$ 等分，那么从链接线 $L_{i-1}$ 到另一条相邻的链接线 $L_i$ 都有 $\pi_i+1$ 条道路可以选择。

(2). 节点选择

蚁群算法优化寻找路径参数集合 $(h_1,h_2,\cdots,h_d)$ ，使得在离散化的空间里得到最短的路径。假设共有 $m$ 只蚂蚁从起点 $S$ 出发到达终点 $T$ ，循环路径为 $S→n_{1j}→n_{2j}→\cdots→n_{dj}→T$ ，其中， $n_{dj}$ 表示路径点在第 $d$ 条链接线的第 $j$ 个等分点上。在移动过程中，当蚂蚁在链接线 $L_i$ 上式，选择下一个链接线 $L_{i+1}$ 上节点 $j$ 的方法为 $j=\begin{cases} arg \, max_{k∈I}(|\tau_{i,k} ||\eta_{i,k}^\beta|), & \text {$q≥q_0$} \\ J, & \text{others}\end{cases}\tag{3}$
其中， $i$ 为链接线上所有点的集合； $q$ 为[0,1]区间的随机数； $q_0$ 为[0,1]区间的可调参数； $\eta_{i,k}$ 为启发值； $\tau_{i,k}$ 为信息素。
$j$ 的计算方法为：首先依次计算当前链接线节点 $i$ 到下条链接线节点 $j$ 的选择概率 $p_{i,j}$ ，然后根据选择概率 $p_{i,j}$ 采用轮盘赌法找出下一个节点 $j$ ， $p_{i,j}$ 的计算公式为 $p_{i,j}=\frac{\tau_{i,j}\eta_{i,j}^\beta}{\displaystyle \sum_{w∈I}\tau_{i,w}\eta_{i,w}^\beta}\tag{4}$

(3). 信息素更新

信息素更新包括实时信息素更新和路径信息素更新，其中实时信息素更新是指每一只蚂蚁在选择某个节点后都必须对该节点的信息素进行更新，即 $\tau_{i,j}=(1-\rho)\tau_{i,j}+\rho\tau_0\tag{5}$ 其中， $\tau_0$ 为信息素初始值； $\rho$ 为[0,1]区间的可调参数。
当所有蚂蚁从初始点走到终点，完成依次迭代搜索时，选择所有蚂蚁经过路径中长度最短的一条，更新该条路径上每一个点的信息素，即 $\tau_{i,j}=(1-\rho)\tau_{i,j}+\rho\Delta\tau_{i,j}\tag{6}$ 其中， $\Delta\tau_{i,j}=1/L^*$ ， $L^*$ 为最短路径的长度； $\rho$ 为[0,1]区间的可调参数。

三、MATLAB程序

根据蚁群算法原理，在MATLAB软件中编程实现基于蚁群算法的二维路径规划算法，算法分为两步：第一步使用dijkstra算法生成初始次优路径；第二步在初始路径的基础上，使用蚁群算法生成全局最优路径。

1、dijkstra算法

采用dijkstra算法规划初始路径，其算法思想是先计算点点之间的距离，然后依次计算各点到出发点的最短距离，程序如下：

function path = DijkstraPlan(position,sign)
%% 基于Dijkstra算法的路径规划算法
% position     input        节点位置
% sign         input        节点间是否可达
% path         output       规划路径
%% 计算路径距离
cost = ones(size(sign))*10000;
[n, m] = size(sign);
for i = 1:n
    for j = 1:m
        if sign(i, j) == 1
            cost(i, j) = sqrt(sum((position(i, :)-position(j, :)).^2));
        end
    end
end

%% 路径开始点
dist = cost(1, :);            % 节点间路径长度
s = zeros(size(dist));        % 节点经过标志
s(1) = 1; dist(1) = 0;
path = zeros(size(dist));     % 依次经过的节点
path(1, :) = 1;

%% 循环寻找路径点
for num = 2:n
    % 选择路径长度最小点
    mindist = 10000;
    for i = 1:length(dist)
        if s(i) == 0
            if dist(i)< mindist
                mindist = dist(i);
                u = i;
            end
        end
    end
    % 更新点点间路径
    s(u) = 1;
    for w = 1:length(dist)
        if s(i) == 0
            if dist(u)+cost(u,w) < dist(w)
                dist(w) = dist(u)+cost(u,w);
                path(w) = u;
            end
        end
    end
end

2、蚁群算法搜索

在初始路径的基础上，采用蚁群算法搜索最优路径，程序如下：

%% 蚁群算法参数初始化
pathCount = length(path)-2;                 % 经过线段数量
pheCacuPara = 2;                            % 启发值重要程度因子
pheThres = 0.8;                             % 信息素选择阈值
pheUpPara = [0.1 0.0003];                   % 信息素更新参数
qfz = zeros(pathCount, 10);                 % 启发值
phePara = ones(pathCount, 10)*pheUpPara(2); % 信息素
qfzPara1 = ones(10,1)*0.5;                  % 启发信息参数1
qfzPara2 = 1.1;                             % 启发信息参数2
m=10;                                       % 蚂蚁数量
NC=500;                                     % 循环次数
pathk = zeros(pathCount, m);                % 搜索结果记录
shortestpath = zeros(1,NC);                 % 进化过程记录
shortestroute = zeros(NC, 2*pathCount);     % 每一代的最短路径
%% 初始最短路径
dijpathlen = 0;
vv = zeros(22, 2);
vv(1, :) = S;
vv(22, :) = T;
vv(2:21, :) = v;
for i=1:pathCount-1
    dijpathlen = dijpathlen +sqrt(sum((vv(path(i), :)-vv(path(i+1), :)).^2));
%     dijpathlen = dijpathlen + sqrt((vv(path(i),1)-vv(path(i+1),1))^2+(vv(path(i),2)-vv(path(i+1),2))^2);
end
LL = dijpathlen;

%% 经过的链接线
lines = zeros(pathCount, 4);
for i = 1:pathCount
    lines(i, 1:2) = B(L(path(i+1)-1, 1), :);
    lines(i, 3:4) = B(L(path(i+1)-1, 2), :);
end
 
%% 循环搜索
for num = 1:NC   
    %% 蚂蚁迭代寻优一次
    for i = 1:pathCount
        for k = 1:m
            q = rand();
            qfz(i, :) = (qfzPara2-abs((1:10)'/10-qfzPara1))/qfzPara2;      % 启发信息
            if q <= pheThres       % 选择信息素最大值
                arg = phePara(i, :).*(qfz(i, :).^pheCacuPara);
                j = find(arg == max(arg));
                pathk(i, k) = j(1);
            else  % 轮盘赌选择
                arg = phePara(i, :).*(qfz(i, :).^pheCacuPara);
                sumarg = sum(arg);
                qq = (q-pheThres)/(1-pheThres);
                qtemp = 0;
                j = 1;
                while qtemp < qq
                    qtemp = qtemp + (phePara(i, j)*(qfz(i, j)^pheCacuPara))/sumarg;
                    j = j+1;
                end
                j = j-1;
                pathk(i, k) = j(1);
            end
            % 实时信息素更新
            phePara(i, j) = (1-pheUpPara(1))*phePara(i, j)+pheUpPara(1)*pheUpPara(2);
        end
    end
    
    %% 计算路径长度
    len = zeros(1, k);
    for k = 1:m
        Pstart = S;
        Pend = lines(1, 1:2) + (lines(1, 3:4)-lines(1, 1:2))*pathk(1, k)/10;
        for l = 1:pathCount
            len(1, k) = len(1, k)+sqrt(sum((Pend-Pstart).^2));
            Pstart = Pend;
            ant_route(k, 2*l-1:2*l)=Pstart;
            if l < pathCount
                Pend = lines(l+1, 1:2) + (lines(l+1, 3:4)-lines(l+1, 1:2))*pathk(l+1, k)/10;
            end
        end
        Pend = T;
        len(1, k) = len(1, k)+sqrt(sum((Pend-Pstart).^2));
    end
    
    %% 更新信息素
    % 寻找最短路径
    minlen = min(len);
    minant = find(len == minlen);
    minant = minant(1);
    shortestroute(num, :) = ant_route(minant, :);
    % 更新全局最短路径
    if minlen < LL
        LL = minlen;
        LL_route = shortestroute(num, :);
    end
    
    % 路径信息素更新
    for i = 1:pathCount
        phePara(i, pathk(i, minant)) = (1-pheUpPara(1))* phePara(i, pathk(i, minant))+pheUpPara(1)*(1/minlen);
    end
    shortestpath(num) = LL;
end

3、结果分析

在无向网络图的基础上采用dijkstra算法规划初始路径，初始路径规划结果如图5所示。
在初始路径规划的基础上采用蚁群算法进行详细路径规划。根据初始路径规划结果判断路径经过的链路为v8→v7→v6→v12→v13→v11，每条链路均离散化为10个小路段，蚂蚁个数为10，个体长度为6，算法进化次数共500次，迭代过程中路径总长度变化及规划出的路径如图6和图7所示。
在这里插入图片描述

图5 初始路径规划

在这里插入图片描述

图6 每代路径最短距离变化
在这里插入图片描述

图7 路径规划对比

Command Window中结果显示为：

初始路径：S->v8->v7->v6->v12->v13->v11->T
路径距离：229.0611
最短路径坐标：S->(60,164)->(66,160)->(102,142)->(134,98)->(136,94)->(140,94)->T
最短距离：173.8157

四、参考文献

[1] M. Dorigo, L. M. Gambardella. Ant colony system: a cooperative learning approach to the traveling salesman problem[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 1997, 1(1): 53-66.
[2] 席裕庚, 张纯刚. 一类动态不确定环境下机器人的滚动路径规划[J]. 自动化学报, 2002, 28(2): 161-175.
[3] 郁磊, 史峰, 王辉, 等. MATLAB智能算法30个案例分析(第2版)[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2015.

基于蚁群算法的二维路径规划算法