时间复杂度：以空间来换取时间

题目：

把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

法1，

复杂度较高，就是从1一直往上累加，每个数判断一下是不是丑数：

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index <= 0){
            return 0;
        }
        if(index == 1)
            return 1;
        int num = 1;
        while(num){
            if(IsUgly(num))
                index --;
            if(index == 0)
                break;
            num++;
        }
        return num;

    }

    //判断一个给定的数是不是丑数；
    bool IsUgly(int n){
        while(n%2 == 0)
            n = n / 2;
        while(n % 3 == 0)
            n = n / 3;
        while(n % 5 == 0)
            n = n / 5;
        return (n == 1) ? 1 : 0;
    }
};

int main()
{
    clock_t start, finish;
    double totaltime;
    start= clock();
    Solution s;
    int temp = s.GetUglyNumber_Solution(1500);
    cout << temp << endl;
    finish = clock();
    totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;
    cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒！"<<endl;
    return 0;
}

输出如下：

859963392

此程序的运行时间为14.982秒！

法2、

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index <= 0)
            return 0;
        if(index == 1)
            return 1;
        vector<int> ugly_num;
        ugly_num.push_back(1);
        int index_2 = 0;
        int temp_2 = 0;
        int index_3 = 0;
        int temp_3 = 0;
        int index_5 = 0;
        int temp_5 = 0;
        while(ugly_num.size() != index){

            for( ; index_2 < ugly_num.size(); index_2++){
                //cout << ugly_num[index_2] << endl;
                temp_2 = 2 * ugly_num[index_2];
                if(temp_2 > ugly_num.back())
                    break;
            }

            for( ; index_3 < ugly_num.size(); index_3++){
                temp_3 = 3 * ugly_num[index_3];
                if(temp_3 > ugly_num.back())
                    break;
            }

            for( ; index_5 < ugly_num.size(); index_5++){
                temp_5 = 5 * ugly_num[index_5];
                if(temp_5 > ugly_num.back())
                    break;
            }
            int min = temp_2 >= temp_3 ? temp_3 : temp_2;
            min = min >= temp_5 ? temp_5 : min;
            ugly_num.push_back(min);
        }
        return ugly_num.back();
    }

};

int main()
{
    clock_t start, finish;
    double totaltime;
    start= clock();
    Solution s;
    int temp = s.GetUglyNumber_Solution(1500);
    cout << temp << endl;
    finish = clock();
    totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;
    cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒！"<<endl;
    return 0;
}

输出如下：

859963392

此程序的运行时间为0.001秒！

可以看到法2运行的时间远远小于法1，但是代价是法2需要建立一个vector数组，把从1到index的丑数都存储起来，以空间来换取时间。