一. 双边带正弦幅度调制(DSB)

通信原理中，无线通信的信号通常需要把信号加在一个高频信号上，才能确保在很远的地方收到信号。一般通信系统由图1所示

信号的调制指用一个信号去控制另一个信号的某一个参量的过程。被控制的信号叫做载波信号，控制信号也叫做载波信号。

正弦载波的幅度调制的示意图如图 2 所示

其时域表达式为

$s_m(t)=m(t)cos\omega_ct$

频域表达式为

$S(\omega)=\frac{1}{2}[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)]$

对基带信号进行正弦调制，就等于在频域将基带信号的频谱搬移到载频的位置。

二. 单边带正弦幅度调制(SSB)

在频带资源很紧张的情况下，传输双边带显然会造成资源浪费，因为根据傅里叶变换的性质，实函数(真实传输的信号)的正负频率部分是共轭对称的。DSB信号的上、下边带都包含了调制信号频谱的所有频谱成分，因此仅传输其中一个边带即可，这样既节省发送功率，还节省一半的传输频带，这种调制方式称为单边带调制。

单边正弦波调制的示意图如图3所示

故，SSB信号的频谱可以表示为

$S_{SSB}(\omega)=\frac{1}{2}[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)]H_{SSB}(\omega)$

1. SSB信号的产生方法

滤波法

即使用边带滤波器，滤除一个边带。即应用一个锐截止的低通或高通滤波器，滤掉不需要的边带。若使用的滤波器若具有理想高通特性

$H(\omega)= \left\{ \begin{aligned} &1,|\omega|>\omega_c&\\ &0,|\omega|\leq\omega_c& \end{aligned} \right.$

则可滤除下边带。

若使用的滤波器若具有理想低通特性

$H(\omega)= \left\{ \begin{aligned} &1,|\omega|<\omega_c&\\ &0,|\omega|\geq\omega_c& \end{aligned} \right.$

则可滤除上边带。

相移法

设单频调制信号 $m(t)=A_mcos\omega_mt$ ，则DBS信号的时域表达式是

$s_{DBS}=\frac{1}{2}A_mcos(\omega_c+\omega_m)t+\frac{1}{2}A_mcos(\omega_c-\omega_m)t$

若保留上边带则有

$s_{USB}(t)=\frac{1}{2}A_mcos\omega_mtcos\omega_ct-\frac{1}{2}A_msin\omega_mtsin\omega_ct$

若保留下边带则有

$s_{LSB}(t)=\frac{1}{2}A_mcos\omega_mtcos\omega_ct+\frac{1}{2}A_msin\omega_mtsin\omega_ct$

合并两式可得

$s_{SSB}(t)=\frac{1}{2}A_mcos\omega_mtcos\omega_ct\mp\frac{1}{2}A_msin\omega_mtsin\omega_ct$

而 $A_msin\omega_mt$ 可以看做 $A_mcos\omega_mt$ 相移 $\frac{\pi}{2}$ 的结果。这一变换称为希尔伯特变换，记为 $A_m\hat{cos}\omega_ct$ 。推广到一般情况可得

$s_{SSB}(t)=\frac{1}{2}m(t)cos\omega_ct\mp\frac{1}{2}\hat{m}(t)sin\omega_ct$

三. MATLAB绘图

对于信号

$f(t)=\frac{sin(\omega_0t)}{\omega_0t}$

其时域和频域图像如图4所示，通过正弦调制信号 $cos(\omega_ct)$ 处理后的信号时域及其频域图像如图5所示

该信号频域分别通过高通滤波器和低通滤波器后生成的SSB信号的频域图像如图6,7所示

四. MATLAB代码

1. 双边正弦幅度调制

syms t w
w0 = 2;
wc = 4;

% 原信号
f = sin(w0*t)/(w0*t);
F = fourier(f,t,w);

% 调制信号
g = f*cos(wc*t);
G = fourier(g,t,w);

% 绘图
figure(1)
subplot(2,1,1)
ezplot(t,f,[-6 6])
xlabel t
ylabel f(t)
title('原信号时域图f(t)')
subplot(2,1,2)
ezplot(w,F,[-6 6])
xlabel \omega
ylabel F(\omega)
title('原信号频域图F(\omega)')

figure(2)
subplot(2,1,1)
ezplot(t,g,[-8 8])
xlabel t
ylabel g(t)
title('调制后信号时域图g(t)')
subplot(2,1,2)
ezplot(w,G,[-8 8])
xlabel \omega
ylabel G(\omega)
title('调制后信号频域图G(\omega)')

function v = high_fiter(w,wc)
if w > -wc && w < wc
    v = 0;
else
    v = 1;
end
end

function v = low_fiter(w,wc)
if w > -wc && w < wc
    v = 1;
else
    v = 0;
end
end

2. 单边正弦幅度调制

syms t w
w0 = 2;
wc = 4;

% 原信号
f = @(t)sin(w0*t)/(w0*t);
F = @(w)fourier(f,t,w);

% 调制信号
g = @(t)f*cos(wc*t);
G = @(w)fourier(g,t,w);

T = -6:0.01:6;
W = -8:0.01:8;
n1 = []; n2 = [];
val1 = []; val2 = [];
val = [];

for i = 1:length(W)
    n1 = [n1,W(i)];
    val = [val,G(W(i))];
end
for i = 1:length(W)
    val1 = [val1 val(i)*high_fiter(W(i),4)];
end
for i = 1:length(W)
    val2 = [val2 val(i)*low_fiter(W(i),4)];
end
hold on
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(n1,val)
xlabel \omega
ylabel g_{BSD}(\omega)
title('双边正弦调制信号g(\omega)频域图像')
subplot(2,1,2)
plot(n1,val1)
xlabel \omega
ylabel g_{SSD}(\omega)
title('高通滤波器单边正弦调制信号g(\omega)频域图像')

figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(n1,val)
xlabel \omega
ylabel g_{BSD}(\omega)
title('双边正弦调制信号g(\omega)频域图像')
subplot(2,1,2)
plot(n1,val2)
xlabel \omega
ylabel g_{SSD}(\omega)
title('低通滤波器单边正弦调制信号g(\omega)频域图像')

function v = high_fiter(w,wc)
if w > -wc && w < wc
    v = 0;
else
    v = 1;
end
end

function v = low_fiter(w,wc)
if w > -wc && w < wc
    v = 1;
else
    v = 0;
end
end

单边带正弦幅度调制