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数字图像处理复习总结

数字图像处理复习总结

数字图像基础

数字图像基础概念

图像是像素的二维排列
数字图像的储存方式以像素为单位
传感器阵列上每一个感光元对应数字图像中的一个像素
每一个像素值反映自然场景中相应成像点的亮度

数字图像用二维的亮度函数 f(x, y) 表示
- x 和 y 表示空间坐标
- f (x, y) 是关于坐标（x, y）的函数值，与成像于该点的光强成正比

数字化的空间位置称为像素（Pixel），数字化的亮度值称为灰度值

二维矩阵的大小M，N，M*N为空间分辨率

成像多样化

将电磁波的各个波段按照波长或频率的递增或递减顺序依次排列形成电磁波谱。
电子成像可以通过几乎任何一种电磁波辐射转换成电信号形成数字图像

成像方式分类：

反射成像是由物体表面反射的电磁波到达成像传感器而成像；
发光成像是物体本身辐射的电磁波到达成像传感器而成像
吸收成像是由于一部分透过物体的电磁波到达成像传感器而成像

尺度多样性

从图像反映的实体尺寸看，可以小到电子显微镜图像，大到航空、航天遥感图像，甚至天文望远镜图像

根据图像的数据量，将图像主要分为4类：

二值图像
- 每一个像素仅占用1位，灰度值为0或1，其中，0表示黑色，1表示白色，俗称黑白图像
灰度图像
- 黑与白之间有多级灰色深度
- 灰度图像中每个像素的灰度级通常采用8位表示，有2^8=256个灰度级，每个灰度像素占一个字节
索引图像
- 包含颜色查找表，通过查找映射方法表示彩色图像的颜色
真彩色图像
- 每一个彩色像素用一个3维向量来表示，由R、G、B颜色分量组成。
- R、G、B颜色分量各占用8 位表示相应颜色分量的亮度，每一个颜色分量各有256个灰度级，这3个字节组合可以产生 2^24=1677 万种不同的颜色。

采样和量化

自然界中场景的空间位置和辐射度都是连续量，有必要对连续数据进行空间和幅值的数字化处理，将模拟数据转换为计算机可接受的数字形式。
每一个采样单元对应一个像素。每一个采样单元在传感器阵列中行和列的两个整数坐标决定了图像中相应像素的空间坐标。
8位灰色深度的量化是将感光元捕获的连续亮度等间隔划分为256级明暗程度的灰阶，在像素所在空间坐标处的整数亮度确定了该像素的灰度值。

图像数字化的过程包括两个步骤

采样：空间坐标（x, y）的离散化
量化：亮度值 f(x, y) 的离散化

数字图像（DIDITAL IMAGE）

空间坐标和亮度上都离散化的图像。

采样

图像在空间上的离散化，空间上连续的图像转换成离散点（像素，PIXEL）
正方形点阵结构对水平方向和垂直方向的空间位置进行光栅化；

假定一幅图像取M×N个采样点

M、N一般为2的整数次幂；
M、N可以相等，也可以不等；
对于M、N数值大小的确定：M*N满足采样定理，重建图像就不会产生失真。

正六边形采样网格更符合人眼的视觉特性。
视网膜上分布的视神经细胞的排列方式为正六边形结构，且这些细胞在水平方向和垂直方向上相比在对角方向上对高频信号有更高的光敏感度。

采样决定空间分辨率，反映图像数字化的像素密度，以及图像的有效像素。

空间分辨率越低，可辨细节越差。

图像插值放大仅能增加图像的像素数，不能提高图像的空间分辨率。

量化

量化是图像函数值（灰度值）的离散化（取值的数字化，模拟信号->数字信号）
常见的像素的灰度级数 2^8=256，灰度级越大，要接近白色，灰度级为0时，为黑色

若将样本量化为Q级，Q如何取值：

Q总是取2的整数次幂，Q=2^k
灰度级位数越大，量化误差越小。

量化决定灰度级分辨率，指可分辨的最小灰阶变化。

非均匀采样与量化

非均匀采样

在变化大细节多的区域——较精（密）采样
平坦变化缓慢区域——较粗（稀）采样

非均匀量化

在边界附近（灰度剧烈变化区）——量化级少
灰度级变化比较平滑的区域——量化级多，避免或减少由于量化的太粗糙，在灰度级变化比较平滑的区域出现假轮廓的现象

一幅好的数字图像，需要多少采样分辨率和灰度级？
实验方法

选取一组细节多少不同、不同N、M、Q的图像让观察者根据主观质量感觉给这些图像排序

实验结论

随着采样分辨率和灰度级的提高，主观质量也提高
具有大量细节的图像，其质量对灰度级的需求相应降低

细节相对丰富的图像

空间分辨率（采样）对图像质量影响大，灰度级分辨率（量化）对图像质量影响小。

灰度相对平坦的图像

灰度级分辨率对图像质量影响大，而空间分辨率对图像质量影响小。

数字图像常见失真类型

混叠效应
当采样间隔过大时，由于采样频率小于奈奎斯特频率，而引起频谱的高频成分发生相互交叠，频谱重叠导致失真。

模糊效应

长时间曝光过程中成像设备与成像场景的相对运动而造成运动模糊；
光学镜头散焦、大气湍流、短时间曝光而造成散焦模糊。

块效应

在相邻块之间引入的非连续性，视觉上看似马赛克的效果
块效应产生的原因
- 对图像分块处理而引起的块状失真
- 在图像压缩编码中，分块离散余弦变换编码和分块运动补偿是造成块效应的两个主要原因

噪声

感光器件接收光信号并输出的过程中产生的异常像素。
根据噪声的分布和统计特征，成像系统的噪声源可以分为光电散粒噪声、读出噪声和脉冲噪声等。

数字图像处理基础

数字图像处理基本概念

根据语义从低级到高级，广义图像处理分为三个层次：图像处理、图像分析和图像理解。

数字图像处理分为广义图像处理和狭义图像处理，实际应用中的图像处理概念通常指的是广义图像处理。

数字图像处理研究内容

图像处理（狭义图像处理）

图像的低级处理阶段
强调改善图像的质量
- 人眼观看图像时注重图像的视觉效果；
- 机器观看图像（机器视觉）时注重物体的可辨识性。

图像分析

图像的中级处理阶段
处理对象：目标区域
主要任务：对图像中目标区域进行检测、表示和描述。将以像素表示的图像变成用符号、数据对目标区域的描述。

图像理解

在图像分析的基础上更高一级的处理阶段
研究图像中目标分类、姿态识别、行为分析以及目标相互之间的联系，从而得出对图像语义的解释。

数字图像处理关键阶段

图像获取->图像增强->图像恢复->形态学处理->图像分割->表示与描述->目标识别->图像压缩->彩色图像处理

数字图像处理应用

图像增强、哈勃图像复原、遥感图像处理、环境与资源监测、医学图像处理、网络通信、工业检测、军事公安、人机接口、文化艺术、影视创作等

图像质量评测

由人来评价的主观评测方法
由算法评价的客观评测方法

主观评测

在一定测试条件下由多个观察者对待测图像的质量进行评分，对大量的评分数据进行统计处理
主观方法需多次重复实验，耗时费力，易受观察者个人因素的影响。

客观评测

用数学公式计算给出指标数值，使算法评价自动、公开。
传统的客观方法主要有**峰值信噪比(PSNR)和均方误差(MSE)**等。
- 优点：计算简单、物理意义明确、数学上便于优化
- 缺点：没有考虑到像素间的相关性和人类视觉系统的感知特性，在很多情况下不符合人的主观感受。
- Structural Similarity (SSIM)：luminance, contrast and structure

像素的空间关系

领域

4领域

对角领域

8领域

邻接性

像素 p 和 q 邻接的两个必要条件：
- 两个像素的位置在某种情况下是否相邻
- 两个像素的值是否满足某种相似性
4邻接
- 两个像素 p 和 q 的灰度值在集合V中，且 q 在 p 的4邻域内，则它们为4邻接；
8邻接
- 两个像素 p 和 q 的灰度值在集合V中，且 q 在 p 的8邻域内，则它们为8邻接。

连通性

若从像素 q 到像素 p 之间存在一条一序列像素组成的折线，且该折线上的像素灰度值均满足上述特定相似性准则，则称这一序列像素组成了一条从像素 q 到像素 p 的通路。
设 q 和 p 是某一图像子集 S 中的两个像素，若存在一条完全由 S 中的像素组成的从 q 到 p 的通路，则称像素 q 和 p 是连通的。

根据邻接性定义不同，可定义不同的连通性

在4邻接下定义的通路称为4连通
在8邻接下定义的通路称为8连通

对于 S 中任意像素 p，S 中与该像素相连通的全部像素组成的集合称为 S 的连通分量。
若 S 中仅有一个连通分量，则称集合 S 为连通集。

区域和边界

设 p 为某一图像子集 S 中的一个像素，若像素 p 的某一邻域包含于 S 中则称像素 p 为 S 的内点，若 S 中的像素都是内点，则 S 称为开集，连通的开集称为开区域，简称为区域。
若像素 p 的任意邻域内有属于 S 的像素也有不属于 S 的像素，则像素 p 称为 S 的边界像素。S 的边界像素的全体称为 S 的边界。

图像中每一个连通集构成一个区域，图像可认为是由多个区域组成。区域的边界也称为区域的轮廓，它将区域与其他区域分开。

区域的内部和边界必须采用不同的连通性来定义，否则会出现歧义性。

距离度量

空域图像增强

图像增强技术

主要目标：通过对图像的处理，使图像处理更适合一个特定的应用。
应用：显示、打印、印刷、识别、分析等。
处理：去除噪声、边缘增强、提高对比度、增加亮度、改善颜色效果、改善细微层次等——通常与改善视觉效果相一致。

背景知识

空域图像增强

直接对图像的像素本身进行操作的过程：
- g(x, y) = E{f(x, y)}
- E{·} 表示增强操作，f(x, y) 表示输入图像，g(x, y) 表示增强图像
空域图像增强分为点处理和邻域处理。

点处理

在像素 (x, y) 处 g(x, y) 的值仅取决于 f(x, y) 的值，
增强操作即为灰度级映射：s = E®
输出图像的像素值 g(x, y) 仅与输入图像中位于 (x, y) 的像素 f(x, y) 有关

邻域处理

像素 (x, y) 的邻域定义为中心位于像素 (x, y) 处的局部区域 Sxy
增强操作是以像素 (x, y) 为中心的邻域内所有像素值的函数：g(x, y) = E{f(s, t) | (s, t) ∈ Sxy}
输出图像的像素值 g(x, y) 与输入图像中位于 (x, y) 邻域内的像素都有关。

直方图概念

对于每个灰度值、求出在图像中具有该灰度值的像素数或概率。
横轴代表灰度值，纵轴代表像素数（或者概率）。

灰度直方图（GRAY LEVEL HISTOGRAM），反映图像中不同灰度像素出现的统计情况：

h(rk) = nk, k=0,1,……,L-1

式中，rk 表示第 k 个灰度级，nk 表示灰度值为 rk 的像素在图像中出现的频数，L表示灰度级数。

灰度值为 rk 的像素出现的频数与像素总数的比值，称为概率直方图：

p(rk) = nk/n, k=0,1,…, L-1

式中，n 为图像中的像素总数。

p(rk) 实际上表示灰度级 rk 的概率分布率。

imhist() 图像数据

imread() 读取图片

imfinfo() 图片信息

直方图的主要性质

只能反映该图像中不同灰度值出现的频数，不能表示出像素的空间位置等其他信息；
- 直方图仅统计某一灰度值的像素有多少，占全部像素的比例是多少，而无法提供那些具有同一灰度像素的二维位置信息。
不同图像可能具有同样的直方图，图像与直方图之间是多对一的映射关系
直方图是总体灰度的概念
直方图可叠加性
- 若将图像分为区，则每个区都可分别作直方图，而原图像的总直方图为各区直方图之和。

直方图的主要应用

由直方图可看出图像的整体性质，判断一幅图像是否合理利用了全部可能的灰度级。

图像的视觉效果与其直方图之间存在对应关系，改变直方图的形状对图像产生对应的影响。

利用直方图可在图像分割中确定合适的阈值，并能够根据直方图对区域进行像素数统计。

累积直方图

累积直方图是概率直方图 p(rk) 关于灰度级 rk 的累积概率分布：

式中，rk 表示第 k 个灰度级，nk 表示灰度值为 rk 的像素在图像中出现的频数，n 为图像中的像素总数，L 表示灰度级数。
c(rk) 表示灰度值落在区间 [0, rk] 内的像素在图像中出现的总概率。
累积直方图一定是递增的，且第 L 个灰度级的累积概率值 c(rk=L-1) = 1。

灰度级变换（点处理）

灰度级变换将各像素灰度，都按同一函数进行变换，这种变换与像素的坐标无关，只和灰度级有关。

设 r 和 s 分别表示输入图像和输出图像的灰度级，s = E® 表示一种将灰度级 r 映射到灰度级 s 的变换。

对数变换

对数变换的一般表达式为

$s = clog_a(1+r)$

式中，c 为常数，a 为对数的底。

对数变换的作用是压缩图像中较亮区域的动态范围。

对数变换的典型应用是傅里叶谱的显示，对数变换起到压缩图像动态范围的作用，减小了最大值与最小值之间的反差值。

指数变换

指数变换是对数变换的反函数，一般表达式为

$s = c(a^r-1)$

式中，c 为常数，a 为指数的底。

指数变换的典型应用是对数变换的对消。

在照度-反射模型中，f(x, y) = i(x, y) * r(x, y)

对图像进行对数变换，在对数域中将乘法运算转换为加法运算，这样能够利用线性滤波进行图像处理，最后再使用指数变换对图像进行反变换。

幂次变换

幂次变换的一般表达式为

$s = cr^a$

式中，c 为常数，a 为指数的幂。

当 a < 1 时，拉伸直方图灰度级暗端的动态范围，压缩灰度级亮端的动态范围；增强图像中暗区域的对比度，降低亮区域的对比度；

当 a > 1 时，拉伸直方图灰度级亮端的动态范围，压缩灰度级暗端的动态范围；增强图像中亮区域的对比度，降低暗区域的对比度。

灰度反转

灰度反转是对图像求反，一般表达式为

$s = 1 - r$

明暗反转的作用是突出在大片黑色区域中的白色或灰色细节。

分段线性变换

通过截断一定比例的最亮像素和最暗像素，并使中间亮度像素占有整个灰度级，因而能够提高图像的全局对比度，通常称之为对比度拉伸、直方图剪裁。

imadjust() 调整图像亮度和颜色

stretchlim() 找到反差拉伸图像的限制

灰度切片

在整个灰度级范围内将设定窗口内的灰度和其他部分分开，突出图像中具有一定灰度范围的区域。
灰度切片有两种类型：
- 清除背景
- 保持背景

阈值增强

阈值增强作用是生成一幅高对比度的图像，阈值增强变换的一般表达式为

$\frac{1}{1+(r_0/r)^γ}$

式中，γ 控制函数的斜率， $r_0$ 表示亮暗跃变点。

直方图处理（点处理）

点处理方法，通过对灰度直方图进行变换有效地实现图像增强。

直方图均衡化
直方图规定化

直方图均衡化

直方图均衡化的目的是将直方图的灰度级概率分布变换为均匀分布。
通过灰度级变换 s = T®，使变换后的图像直方图具有较宽的灰度级范围，且分布较为平坦。

将原图像的直方图变换为均匀分布的形式，这样就增加了像素灰度值的动态范围，从而达到增强图像整体对比度的效果。

目标：寻找一个灰度级变换 s = T® ，使变换后图像的直方图 p(rk) 服从均匀分布。

实现：计算灰度级 r 的概率密度函数 p(rk) 的累积分布函数，就是所要找的灰度级变换 s = T® 。

根据直方图可直接算出直方图均衡化后的各像素的灰度值。

点处理增强可用式s=T®表示。增强函数需要满足2个条件：

T® 在 0 < r < L-1 范围内是一个单调递增函数
对 0 < r < L-1 有 0 < T® < L-1

累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF) 满足上述2个条件，并能将 r 的分布转换为 s 的均匀分布。

当变换函数 s = T® 选取灰度级r的累积直方图时，变换后的概率密度函数ps(s)服从均匀分布。

round 四舍五入

在灰度级为离散形式下，灰度级映射后的灰度值sk一般并非落在量化的灰度级上，因此将灰度值sk近似为最接近的量化灰度级。

在近似过程中可能会造成将多个不同的 sk 值近似到相同的灰度级 s‘k。

像素重新分配时，只能把同一灰度级的像素成组移动，同一组的像素不允许拆分为多个灰度级，不同组的像素可以合并成一种新的灰度级。

通常新直方图分布比原直方图分布疏散，sk的级数比rk少。

histeq() 图像均衡化

算数运算（点处理）

图像相加
设 f(x, y) 和 g(x, y) 表示两幅尺寸相同的数字图像，两幅图像的加法运算

s(x, y) = f(x, y) + g(x, y)

主要应用

对同一场景的多幅序列图像求取平均值，降低加性随机噪声；
将一幅图像叠加到另一幅图像上，实现二次曝光效果。

图像相减
设 f(x, y) 和 g(x, y) 表示两幅尺寸相同的数字图像，两幅图像的减法运算计算这两幅图像对应像素的灰度差值 d(x, y)：

d(x, y) = f(x, y) - g(x, y)

主要应用

显示两幅图像的差异，检测同一场景两幅图像之间的变化，如：视频中镜头边界的检测，帧间变化检测
图像分割：如分割运动的车辆，减法去掉静止部分，剩余的是运动像素和噪声（背景减除法），数字减影血管造影

空域滤波（领域处理）

空域滤波是一种领域处理方法，通过直接在图像空间中对领域内像素进行处理

作用域：像素及其领域

空域滤波通常使用空域模板进行图像处理，模板本身被称为空域滤波器

目的：达到平滑或锐化图像的作用

空域滤波分为线性滤波和非线性滤波，线性空域滤波与频域滤波存在一一对应的关系。

空域滤波按数学形态分为

线性滤波器
- 高通
- 低通
- 带通
非线性滤波器
- 最大值
- 最小值
- 中值

空域滤波按处理效果分为

平滑滤波器
锐化滤波器

线性空域滤波

像素的输出值是计算该像素邻域内像素值的线性组合，系数矩阵称为模板。卷积核
通常使用滤波模板与图像的空域卷积来实现的，因此滤波模板也称为卷积模板。

根据空域卷积的定义，卷积的计算首先需要将模板反褶，即将模板绕中心旋转180度，在图像处理中，模板通常是关于原点对称的，通常不用考虑旋转。

模板卷积的主要步骤：

将模板在图像中遍历，将模板中心与各个像素位置重合；
将模板的各个系数与模板对应像素值相乘；
将所有乘积相加，并将求和结果赋值于模板中心对应的像素。

MatLab中的padarray函数
'symmetric’表示图像大小通过围绕边界进行镜像反射来扩展；
'replicate’表示图像大小通过复制外边界中的值来扩展；
'circular’图像大小通过将图像看成是一个二维周期函数的一个周期来进行扩展。

空域平滑

图像平滑的主要作用：

模糊
- 对大图像处理前，删去无用的细小细节
- 连接中断的线段和曲线
- 平滑化处理，恢复过分锐化的图像
- 图像创艺（阴影、软边、朦胧效果）
降低噪声

主要分为线性平滑滤波和统计排序平滑滤波。

线性平滑模板特征

权系数全为正值
且系数之和等于1，不会增加总体灰度程度。

最简单的线性平滑滤波是均值平滑模板

更有效的平滑模板是加权平均模板（高斯平滑模板）

指模板不同位置对应的像素具有不同的权系数，
中间权系数大，周围权系数小，
最常用的是高斯平滑模板

fspecial() 创建预定义的二维滤波器

imfilter() 多维图像的 N 维滤波

模板尺寸对滤波器效果的影响：模板尺寸越大，图像越模糊，图像细节丢失越多。

空域线性平滑滤波的问题

若图像处理的目的是去除噪声，则低通滤波在去除噪声的同时也平滑化了边缘和细节。

双边滤波

双边滤波是一种边缘保持的非迭代平滑滤波方法，是一种非线性滤波。
权系数由空域和值域平滑函数的乘积给出。
随着与中心像素的距离和灰度差值的增大，邻域像素的权系数逐渐减小。

双边滤波很好地保持图像的边缘。

对于与中心像素距离相近，且灰度值相差较小的像素，双边滤波赋予较大的权重；
对于距离相近，但灰度值相差较大的像素，赋予较小的权重。

双边滤波能够平滑低对比度变化的细节特征，而保持高对比度变化的边缘以及高灰度差的突变，包括噪声。

值域尺度越小，则边缘保持越好。

高斯函数

统计排序平滑滤波

非线性滤波
将模板对应的邻域内像素的灰度值进行排序，将统计排序结果作为模板中心对应像素的输出值
最常见的是中值滤波

中值滤波

中值滤波的算法实现

将模板区域内的像素排序，求出中值。
- 例如：3×3的模板，第5大的是中值，
- 5×5的模板，第13大的是中值，
- 7×7的模板，第25大的是中值，
- 9×9的模板，第41大的是中值。
对于同值像素，连续排列。
如（10, 15, 20, 20, 20, 20, 20, 25, 100）

中值滤波的特点

在去除噪声的同时，可以比较好地保留边缘的锐度和图像的细节。
能够有效去除脉冲噪声（椒盐噪声）。

中值滤波函数 medfilt2() 二维中值滤波器

imnoise(I, ‘salt & pepper’, 0.02) 椒盐噪声

filter2(fspecial(‘average’, 3), J)/255; 平均值滤波

空域锐化

图像锐化的主要作用

增强图像中的边缘和细节，如边缘增强
减弱或清除灰度变化缓慢的区域，如边缘检测

微分与差分

数学函数偏导数的主要性质有两点：

在函数值为常数的区域，偏导数为0；
函数值变化越快，偏导数越大。

在数字图像处理中，常用差分近似偏导数。

差分算子的响应程度与图像在该点灰度值的突变程度有关，图像锐化使用差分算子。

一阶差分算子

利用图像梯度突出边缘和细节，主要用于图像的边缘检测；

二阶差分算子

线性算子，通过线性算子提取的边缘和细节叠加在原图像上，主要用于图像的边缘增强。

一阶差分模板-Sobel算子

Sobel模板中的系数之和为0，表明灰度恒定的区域的响应为0

fspecial() 创建二维滤波器

edge() 查找强度图像边缘

二阶差分模板-拉普拉斯算子

模板的所有系数之和等于0，在图像中灰度值为常数或者灰度变化平坦的区域，拉普拉斯模板与图像邻域的卷积是0或者几乎为0。

滤波器效果的分析

常数或变化平缓的区域，结果为0或很小，图像很暗，亮度被降低了。
在暗的背景上边缘被增强了。
图像的整体对比度降低了。
计算时会出现负值，归0处理为常见。

使用拉普拉斯变换对图像进行锐化滤波的基本方法可表示为

也就是说：若使用的模板具有正的中心系数，则将原图像加上拉普拉斯图像；反之，将原图像减去拉普拉斯图像。两者产生的结果完全相同。

频域图像增强

空域图像增强和频域图像增强结合起来是图像增强技术的完整内容。

频域变换

傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法，反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。

频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图像的细节内容对应频谱中的高频成分。

频域图像增强正是利用图像在频域中特有的频率特征进行滤波处理。

滤波基础

频域指图像的傅里叶变换域。

离散傅里叶变换将图像从空域转换到频域，利用频域滤波器对图像的不同频率成分进行处理。

频域图像增强利用图像在频域中特有的频率特征进行滤波处理，频域滤波原理是允许特定频率成分通过，而限制或减弱其他频率成分通过。
通过频域图像增强的学习，可以从频域直观地理解空域图像增强的原理和方法。

卷积定理

卷积定理是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。

频率平面与图像空域特性的关系

图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域。
图像中的边、噪声、变化陡峻的部分，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域。

研究频域图像增强的原因？

可以利用频率成分和图像表观之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常简单。
滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。
可以在频率域指定滤波器，做逆变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。
利用频率成分与图像内容之间的对应关系，在频域中设计滤波器，通过傅里叶逆变换获得冲激响应函数，指导空域模板，在空域中执行图像增强。

有时也可以通过频率域实验，再选择空间滤波，实施在空间域进行

频域滤波的意义

低通滤波指允许频谱中的低频成分通过，限制高频成分通过，滤除噪声和不必要的细节和纹理，与空域图像平滑具有等效的作用；
高通滤波指允许频谱中的高频成分通过，限制低频成分通过，突出边缘和细节，与空域图像锐化具有等效的作用。

频域滤波基本步骤

频域滤波的核心是 设计滤波器的传递函数H(u, v)

根据卷积定理，频域滤波表示为频域滤波器的传递函数与输入图像频谱乘积的形式：

G(u, v) = H(u, v) F(u, v)

式中，H(u, v) 为滤波器的传递函数，F(u, v) 为 f(x, y) 的离散傅里叶变换，H(u, v) 和 F(u, v) 的乘积是逐元素相乘。

对频域滤波结果 G(u, v) 进行傅里叶逆变换，转换回空域中：

传递函数 H(u, v) 为实数的滤波器称为零相位滤波器，不会改变输出图像频谱的相位。

式中，R(u, v) 和 I(u, v) 分别为 F(u, v) 的实部和虚部。

频域滤波基本流程

频域滤波具体步骤

计算 $f(x, y)(-1)^{x+y}$ 的二维离散傅里叶变换 F(u, v)。输入图像 f(x, y) 乘以 $1)^{x+y}$ 使图像的低频成分移到频谱的中央部分。

设计频域滤波器的传递函数 H(u, v)，与输入图像的频谱 F(u, v) 相乘，获得频域滤波结果 G(u, v)。

计算 G(u, v) 的二维离散傅里叶逆变换 g(x, y)，截取它的实部 Re[g(x, y)]，并乘以 $1)^{x+y}$ 以抵消第1步的移位。

bw = imread('text.png');
a = bw(32:45,88:98);
figure, imshow(bw);
figure, imshow(a);

C = real(ifft2(fft2(bw) .* fft2(rot90(a,2),256,256)));
figure, imshow(C,[])

max(C(:))
thresh = 60; % Use a threshold that's a little less than max.
figure, imshow(C > thresh) % Display pixels over threshold.

低通滤波器

允许图像的低频成分通过，限制高频成分通过
限制或减弱频谱中的高频成分可以起到图像平滑的作用

频域中的低通滤波器和空域中的平滑模板具有等效的作用

分类与可实现性

理想低通滤波器（物理不可实现）
巴特沃斯低通滤波器（物理可实现）
指数低通滤波器（物理可实现）

振铃效应：在图像灰度剧烈变化的邻域产生灰度振荡的图像失真现象。

理想低通滤波器

最简单的低通滤波器是完全截断频谱中的高频成分，这种滤波器称为理想低通滤波器。

理想低通滤波器完全阻止圆周外的所有频率成分，而完全通过圆周内的任何频率成分。

完全截断频谱中的高频成分，其传递函数定义为

式中，D(u, v) 是点 (u, v) 到频谱中心 (M/2, N/2) 的距离，
$D_0$ 为截止频率。

理想低通滤波器的锐截止频率不能用电子器件实现，且会产生振铃效应，表现为在图像灰度剧烈变化的邻域产生灰度振荡。

理想低通滤波器截止频率

计算总的信号能量 $P_T$
如果将变换作中心平移，则一个以频域中心为原点，r 为半径的圆就包含了百分之 β 的能量
由于傅里叶变换的实部 R(u,v) 及虚部 I(u,v) 随着频率 u, v 的升高而迅速下降，能量随着频率的升高而迅速减小。
在频域平面上能量集中于频率很小的圆域内, 当 $D_0$ 增大时能量衰减很快。
高频成分携带能量虽少，但包含有丰富的边界、细节信息，所以截止频率 $D_0$ 变小时，虽然亮度足够（能量损失不大），但图像变模糊了。

理想低通滤波器会产生振铃效应。振铃效应表现为灰度振荡。
随着截止频率的减小，振铃特性增强。

随着半径（截至频率 $D_0$ ）的增大，保留的低频成分越多，滤除的高频成分越少，使得模糊程度减弱，图像保留的边缘、细节越多。
在图像处理中，理想低通滤波器是非常不实用的，但是原理简单，通过它我们可以深入理解滤波器的滤波原理。

巴特沃斯低通滤波器

巴特沃斯低通滤波器是一种物理可实现的低通滤波器， n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数定义为

$H_{blp}(u, v) = \frac{1}{1+[D(u, v)/D_0]^{2n}}$

式中，D(u, v) 是点 (u, v) 到频谱中心 (M/2, N/2) 的距离， $D_0$ 为截止频率。

当 D(u, v) = $D_0$ 时， $H_{blp}(u,v) = 0.5$ ，即从最大值1下降到它的 50%。

特点：

通带与阻带之间并非锐截止而是逐渐下降为零，通带到阻带之间平滑过渡，因而滤波图像的振铃效应不明显

滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快
若阶数 n 充分大，此时趋于理想低通滤波器
一阶巴特沃斯低通滤波器没有振铃现象

二阶巴特沃斯低通滤波器的冲激响应函数从原点向外下降到零值以下很小就返回零值

随着阶数的增加，接近理想低通滤波器，振铃现象越明显
随着阶数增加，振铃效应越明显。实际使用中，需要折中考虑平滑效果和振铃效应来确定巴特沃斯低通滤波器的阶数
二阶巴特沃斯低通滤波器在图像平滑与可接受的振铃效应之间做出了比较好的折中

截至频率对频域滤波的影响

随着截止频率的增加，滤除的高频成分减少，模糊的程度减弱，降噪能力也随之减弱

指数低通滤波器

指数低通滤波器也是一种物理可实现的低通滤波器， n阶指数低通滤波器的传递函数定义为

$H_{elp}(u, v) = exp\{-[\frac{D(u, v)^n}{D_0}]\}$

当 D(u, v) = $D_0$ 时， $H_{elp}(u, v) = 0.368$ ，即从最大值1下降到它的 36.8%。

通带到阻带之间平滑过渡，因而其滤波图像的振铃效应不明显。
滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快。
若阶数 n 充分大，此时趋于理想低通滤波器
一阶指数低通滤波器没有振铃效应
二阶指数低通滤波器具有高斯函数形式，也称为高斯低通滤波器。由于高斯函数的傅里叶逆变换也是高斯函数，二阶指数低通滤波器也没有振铃效应。
随着阶数的增加，接近理想低通滤波器，振铃现象越明显。

二阶巴特沃斯低通滤波器Vs二阶指数低通滤波器

与二阶巴特沃斯低通滤波器相比，二阶指数低通滤波

在小于截止频率时，衰减得较快，通过的低频成分较少，
在大于截止频率时，尾部很快衰减到零，对高频成分的抑制更强。

二阶指数低通滤波器滤除的高频成分更多，图像更加模糊。

高通滤波器

允许图像的高频成分通过，而限制低频成分通过。
限制或减弱频谱中的低频成分可以起到图像锐化的作用。

空域图像锐化在频域中用高通滤波器实现。

高通滤波器的传递函数与低通滤波器的传递函数有如下关系：

$H_{hp}(u, v) = 1 - H_{lp}(u, v)$

分类以及可实现性：

理想高通滤波器（物理不可实现）
巴特沃斯高通滤波器（物理可实现）
指数高通滤波器（物理可实现）

理想高通滤波器

理想高通滤波器完全截断频谱中的低频成分，传递函数定义为

式中，D(u, v) 为点 (u, v) 到频谱中心的距离， $D_0$ 为截止频率。
理想高通滤波器也无法用电子器件实现的，且会产生明显的振铃效应。

理想高通滤波器会产生明显的振铃效应，因此与理想低通滤波器一样都是不实用的。
随着理想高通滤波器截止频率的增大，允许通过的高频成分减少，振铃效应更明显。

随着截止频率的增大，被滤除的低频成分越多，边缘、细节逐渐突出。
存在振铃效应，截止频率为15和30的振铃效应在图像上体现为边缘产生重影。随着截止频率的进一步增大，振铃效应应趋于增强，但是允许通过的高频也进一步减少，边缘逐渐细化，振铃效应反而不明显，如上图。

巴特沃斯高通滤波器

$H_{bhp}(u, v) = \frac{1}{1+[D_0/D(u, v)]^{2n}}$

式中，D(u, v) 为点 (u, v) 到频谱中心的距离， $D_0$ 为截止频率。

与巴特沃斯低通滤波器相同，巴特沃斯高通滤波器在阻带与通带之间不是锐截止，之间的过渡比较平滑。
若阶数 n 充分大，此时趋于理想高通滤波器。

如同二阶巴特沃斯低通滤波器，二阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数在阻带与通带之间不是锐截止，是平滑的过渡，使滤波器具有良好的性能。
随着截止频率的增大，被滤除的低频成分越多，边缘更加清晰化。

指数高通滤波器

指数高通滤波器也是一种物理可实现的高通滤波器，n阶指数高通滤波器的传递函数定义为

$H_{ehp}(u, v) = 1 - exp\{-[\frac{D(u, v)^n}{D_0}]\}$

与指数低通滤波器相同，指数高通滤波器在阻带与通带之间不是锐截止，之间有比较平滑的过渡。
若阶数 n 充分大，此时趋于理想高通滤波器。

如同高斯低通滤波器，高斯高通滤波器的传递函数在阻带与通带之间平滑的过渡，使滤波器具有良好的性能。
随着截止频率增加，被滤除的低频成分越多，边缘更加清晰化。
相同截止频率的指数高通滤波器比巴特沃斯高通滤波器允许更多的低频成分通过，保留了更多的背景基调。

高通滤波器只记录了图像的变化，而不能保持图像的能量。

低频分量大部分被滤除后，虽然图中各区域的边界得到了明显的增强，但图中原来比较平滑区域内部的灰度动态范围被压缩，整幅图像比较昏暗。

解决方法：

加一个常数到变换函数 H(u, v) + A（A取0→1），这种方法被称为高频强调（增强）。
为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后滤波处理。

带通、带阻与陷波滤波器

带通滤波器

允许一定频带的信号通过，用于抑制低于或高于该频带的信号、噪声干扰。

理想带通滤波器具有完全平坦的通带，在通带内没有增益或者衰减，完全阻止通带之外的所有频率成分，通带与阻带之间的过渡在瞬时频率完成，其传递函数定义为

式中，W为带宽，半径 $D_0$ 为频带中心， $D_0 - W/2$ 和 $D_0 + W/2$ 分别为下限和上限截止频率，D(u, v) 是点 (u, v) 到频谱中心的距离。

理想带通滤波器并不存在。

物理可实现的滤波器并不能够完全阻止期望频带以外的所有频率成分，在通带与阻带之间有一个衰减范围并非完全阻止。

n阶巴特沃斯带通滤波器的传递函数定义为

高斯带通滤波器的传递函数定义为

带阻滤波器

与带通滤波器执行相反的操作，
带阻滤波器限制某一带宽范围的频率成分通过，而允许带宽范围以外的频率成分通过。

带阻滤波器的传递函数 $H_{br}(u, v)$ 根据相应的带通滤波器的传递函数 $H_{bp}(u, v)$ 定义为

$H_{br}(u, v) = 1 - H_{bp}(u, v)$

理想带阻滤波器的传递函数定义为

n阶巴特沃斯带阻滤波器的传递函数定义为

高斯带阻滤波器的传递函数定义为

物理可实现的带阻滤波器不能完全阻止期望频带之内的所有频率成分，在通带与阻带之间有一个衰减范围。

陷波滤波器

一种窄阻带的带阻滤波器
限制某一中心频率邻域内的频率成分通过，而允许其他频率成分通过

中心频率在 ( $u_0， v_0$ ) 和 ( $u_0， -v_0$ )对称位置的理想陷波滤波器的传递函数定义为

式中，半径 $D_0$ 为截止频率， $D_1(u, v)$ 和 $D_2(u, v)$ 分别是点 (u, v) 到中心频率 ( $u_0 + M/2, -v_0 + N/2$ ) 和 ( $u_0 + M/2, v_0 + N/2$ ) 的距离。

理想陷波滤波器完全阻止以 ( $u_0, v_0$ ) 和为 ( $u_0, -v_0$ ) 圆心，以 $D_0$ 为半径的圆周内的所有频率成分，而完全通过其他频率成分。理想陷波滤波器是物理不可实现的。

n阶巴特沃斯陷波滤波器的传递函数定义为

高斯陷波滤波器的传递函数定义为

空域滤波与频域滤波的关系

频域滤波器的传递函数和空域冲激响应函数互为傅里叶变换对
通过分析频域特性「主要是幅度特性」来分析空域模板的作用；借助频域滤波器的设计来指导空域模板
在频域图像增强中，利用频率成分和图像内容之间的对应关系，主观判断指定频域滤波器。一些直接在空域中表述困难的增强任务，在频域中变得直观

空域到频域

空域模板的作用可以通过分析其频域特性而知

根据卷积定理**，频域滤波器的传递函数对应于空域模板的傅里叶变换**
反过来说，对频域滤波器的传递函数计算傅里叶逆变换，就可以确定空域模板的系数

频域到空域

一些直接在空域中表述困难的增强任务，在频域中变得非常直观。

可以通过频域滤波器设计而近似选择空域滤波，根据频域滤波器对应的空域冲激响应函数的形状，确定小尺寸的空域模板；
可以利用加窗方法、频域取样、频域变换等方法设计二维数字滤波器，对数字图像进行滤波。

图像平滑处理的作用：

模糊细节
降低噪声

结论：均值平滑模板对应的频域滤波函数具有旁瓣泄漏的性质，因而导致振铃效应。

图像锐化处理的作用

增强图像边缘
增强图像细节

结论：8邻域拉普拉斯模板相比4邻域拉普拉斯模板允许更多的高频成分通过，边缘和细节的响应更强。

数字图像处理基础-空域/频域图像增强-复习总结